सर्वनिष्ट(समुच्चय)

1.10.2 समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of sets) समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ है। प्रतीक '' का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि

AnB = {x:x€A 3

xe B}

उदाहरण 15 उदाहरण 12 के समुच्चय A और B पर विचार कीजिए | An

ज्ञात कीजिए।

हल हम देखते हैं कि केवल 6 और 8 ही ऐसे अवयव हैं जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हैं। अतः A∩B = { 6, 8 }

उदाहरण 16 उदाहरण 14 के समुच्चय X और Y पर विचार कीजिए | XY ज्ञात कीजिए ।

हल हम देखते हैं केवल 'गीता' ही एक मात्र ऐसा अवयव है, जो दोनों में उभयनिष्ठ है। अतः XOY = {गीता}

उदाहरण 17 मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 और B = { 2, 3, 5, 7 } AB ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि AB = B.

हल हम देखते हैं कि An B = { 2, 3, 5, 7 } = B हम ध्यान देते हैं कि BCA और AOB = B परिभाषा 7 समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि

An B = {x: x ∈ A और x ∈ B} आकृति 1.5 में छायांकित भाग, A और B के सर्वनिष्ठ

को प्रदर्शित करता है।

यदि A और B ऐसे दो समुच्चय हों कि AB = 6,

U

A

R

परिभाषा 7 समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि

An B = {x: x∈ A और x ∈ B} आकृति 1.5 में छायांकित भाग, A और B के सर्वनिष्ठ को प्रदर्शित करता है।

यदि A और B ऐसे दो समुच्चय हों कि An B = 6, तो A और B असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि A = { 2, 4, 6, 8 } और

U

A

D

AOB आकृति 1.5

B

समुच्चय

19

B = { 1, 3, 5, 7 }, तो A और B असंयुक्त समुच्चय हैं, क्योंकि A और B में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। असंयुक्त समुच्चयों को वेन आरेख द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जैसा आकृति 1.6 में प्रदर्शित है। उपर्युक्त आरेख में A और B असंयुक्त समुच्चय हैं। सर्वनिष्ठ संक्रिय के कुछ गुणधर्म

(i) A∩B =BOA

(ii) (AB)∩C=An(B∩c)

(iii)

A = ¢, UnA=A

(iv) AnA = A

(v) A∩ (BUC) = (AB) ( AnC)

अर्थात् वितरित होता है

पर

U

C

आकृति 1.6 ( क्रम विनिमय नियम ) (साहचर्य नियम) (p और U के नियम) । ( वर्गसम नियम )

ved

( वितरण या बंटन नियम)

नीचे बने वेन आरेखों [आकृतियों 1.7 (i) - (v)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।