व्यापक एवं मध्य पद: Difference between revisions

Revision as of 09:42, 18 November 2024

द्विपद विस्तार अपने पद के मध्य में है। हम जो जानते हैं उसके अनुसार, $(a+b)^{n}$ के विस्तार में पदों की संख्या $(n+1)$ सम संख्या में होती है। हम $n$ के मान को आरंभिक बिंदु के रूप में उपयोग करके का मध्य पद $(a+b)^{n}$ या पद लिख सकते हैं।

परिचय

अधिकांश भाग के लिए, द्विपद प्रमेय $(x+y)^{n}$ प्रकार के बीजीय व्यंजक के विस्तारित मान को निर्धारित करने में उपयोगी है। $(x+y)^{2},(x+y)^{3},(a+b+c)^{2}$ का मान ज्ञात करना सरल है और इसे समीकरण में दिखाई देने वाली संख्या से घातांक मान को बीजगणितीय रूप से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, $(x+y)$ ¹⁷ या बड़े घातांकीय मानों वाले अन्य समान व्यंजकों के विस्तारित रूप की गणना करने के लिए बहुत अधिक गणना की आवश्यकता होती है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, चीजों को थोड़ा आसान बनाना संभव है।

इस द्विपद प्रमेय विस्तार को लागू करते समय, घातांक मान या तो ऋणात्मक संख्या या अंश हो सकता है।

द्विपद की घातों के बीजगणितीय विस्तार को द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार द्वारा वर्णित किया जाता है। इस प्रमेय में, बहुपद “ $(a+b)^{n}$ ” को “ $axzyc$ ” के रूप के पदों के योग में विस्तारित किया जा सकता है, जहाँ घातांक $z$ और $c$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं और $z+c=n$ है, और प्रत्येक पद का गुणांक एक धनात्मक पूर्णांक है जो $n$ और $b$ के मानों पर निर्भर करता है।

द्विपद प्रसार का सामान्य पद

$(x+y)^{n}$ के द्विपद विस्तार का सामान्य पद इस प्रकार है,

$T$ _r+1 $=^{n}C_{r}$ $x$ ^n-r $y^{r}$

द्विपद विस्तार में, सामान्य पद को $T$ _r+1 द्वारा दर्शाया जाता है
पूर्ववर्ती सूत्र में दर्शाए गए पदों को ज्ञात करने के लिए सामान्य पद विस्तार का उपयोग करना आवश्यक है
द्विपद विस्तार में पदों का पता लगाने के लिए दिए गए विस्तार को विस्तारित करने की आवश्यकता है
समीकरण $(a+b)^{n}$ का द्विपद विस्तार इस प्रकार होगा:
$(a+b)^{n}=^{n}C_{0}\cdot a^{n}+^{n}C_{1}\cdot a$ ^n-1 $\cdot b+^{n}C_{2}\cdot a$ ^n-2 $\cdot b^{2}+...+^{n}C_{n}\cdot b^{n}$
यह $T_{1}=^{n}C_{0}\cdot a^{n}$ है जो अनुक्रम में पहला पद है
श्रृंखला में दूसरा पद $T_{2}=^{n}C_{1}\cdot a$ ^n-1 $\cdot b$ है, और यह श्रृंखला में दूसरा पद है
श्रृंखला में तीसरा पद $T_{3}=^{n}C_{2}\cdot a$ ^n-2 $\cdot b^{2}$ है
श्रृंखला में $n$ वाँ पद $T_{n}=^{n}C_{n}\cdot b^{n}$ है। श्रृंखला में कुल $n$ पद हैं

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-द्विपद विस्तार अपने पद के मध्य में है। हम जो जानते हैं उसके अनुसार,(<math>(a+b)^n</math> के विस्तार में पदों की संख्या <math>(n+1)</math> सम संख्या में होती है। हम n के मान को आरंभिक बिंदु के रूप में उपयोग करके  का मध्य पद <math>(a+b)^n</math>या पद लिख सकते हैं।
+द्विपद विस्तार अपने पद के मध्य में है। हम जो जानते हैं उसके अनुसार,<math>(a+b)^n</math> के विस्तार में पदों की संख्या <math>(n+1)</math> सम संख्या में होती है। हम <math>n</math> के मान को आरंभिक बिंदु के रूप में उपयोग करके  का मध्य पद <math>(a+b)^n</math>या पद लिख सकते हैं।
+== परिचय ==
+अधिकांश भाग के लिए, द्विपद प्रमेय  <math>(x+y)^n</math> प्रकार के बीजीय व्यंजक के विस्तारित मान को निर्धारित करने में उपयोगी है।<math>(x + y)^2, (x + y)^3, (a + b + c)^2</math> का मान ज्ञात करना सरल है और इसे समीकरण में दिखाई देने वाली संख्या से घातांक मान को बीजगणितीय रूप से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, <math>(x+y)</math><sup>17</sup> या बड़े घातांकीय मानों वाले अन्य समान व्यंजकों के विस्तारित रूप की गणना करने के लिए बहुत अधिक गणना की आवश्यकता होती है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, चीजों को थोड़ा आसान बनाना संभव है।
+इस द्विपद प्रमेय विस्तार को लागू करते समय, घातांक मान या तो ऋणात्मक संख्या या अंश हो सकता है।
+द्विपद की घातों के बीजगणितीय विस्तार को द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार द्वारा वर्णित किया जाता है। इस प्रमेय में, बहुपद “<math>(a+b)^n</math>” को “<math>axzyc</math>” के रूप के पदों के योग में विस्तारित किया जा सकता है, जहाँ घातांक <math>z</math> और <math>c</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं और <math>z + c = n</math> है, और प्रत्येक पद का गुणांक एक धनात्मक पूर्णांक है जो <math>n</math> और <math>b</math> के मानों पर निर्भर करता है।
+== द्विपद प्रसार का सामान्य पद ==
+<math>(x+y)^n</math> के द्विपद विस्तार का सामान्य पद इस प्रकार है,
+<math>T</math><sub>r+1</sub> <math>= ^nC_r </math><math>x</math><sup>n-r</sup><math>y^r</math>
+* द्विपद विस्तार में, सामान्य पद को <math>T</math><sub>r+1</sub> द्वारा दर्शाया जाता है
+* पूर्ववर्ती सूत्र में दर्शाए गए पदों को ज्ञात करने के लिए सामान्य पद विस्तार का उपयोग करना आवश्यक है
+* द्विपद विस्तार में पदों का पता लगाने के लिए दिए गए विस्तार को विस्तारित करने की आवश्यकता है
+* समीकरण <math>(a+b)^n</math> का द्विपद विस्तार इस प्रकार होगा:
+* <math>(a+b)^n = ^nC_0\cdot a^n + ^nC_1\cdot a</math><sup>n-1</sup><math>\cdot b + ^nC_2\cdot a</math><sup>n-2</sup><math>\cdot b^2 +...+ ^nC_n \cdot b^n </math>
+* यह  <math>T_1= ^nC_0\cdot a^n</math> है जो अनुक्रम में पहला पद है
+* श्रृंखला में दूसरा पद  <math>T_2=^nC_1\cdot a</math><sup>n-1</sup><math>\cdot b </math> है, और यह श्रृंखला में दूसरा पद है
+* श्रृंखला में तीसरा पद  <math>T_3=^nC_2\cdot a</math><sup>n-2</sup><math>\cdot b^2</math> है
+* श्रृंखला में <math>n</math>वाँ पद  <math>T_n= ^nC_n\cdot b^n</math> है। श्रृंखला में कुल <math>n</math> पद हैं
 [[Category:द्विपद प्रमेय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]