समांतर श्रेढ़ी: Difference between revisions

Revision as of 13:21, 18 November 2024

समांतर श्रेढ़ी (AP) एक अनुक्रम है जहाँ प्रत्येक दो क्रमिक पदों के बीच का अंतर समान होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम $2,6,10,14,...$ एक समांतर श्रेढ़ी (AP) है क्योंकि यह एक प्रतिरूप का अनुसरण करता है जहाँ प्रत्येक संख्या पिछले पद में $4$ जोड़कर प्राप्त की जाती है। AP का एक वास्तविक जीवन उदाहरण एक कर्मचारी की वार्षिक आय द्वारा गठित अनुक्रम है जिसकी आय हर साल $5000 की एक निश्चित राशि से बढ़ती है।

इस लेख में, हम समांतर श्रेढ़ी की अवधारणा, इसके $n$ वें पद, सामान्य अंतर और AP के $n$ पदों के योग को खोजने के लिए AP सूत्रों का पता लगाएंगे। हम अवधारणा की बेहतर समझ के लिए समांतर श्रेढ़ी सूत्र के आधार पर विभिन्न उदाहरणों को हल करेंगे।

परिभाषा

समांतर श्रेढ़ी (AP) संख्याओं का एक क्रम है, जहाँ प्रत्येक दो क्रमिक पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस श्रेढ़ी में, पहले पद को छोड़कर प्रत्येक पद, अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस निश्चित संख्या को सामान्य अंतर के रूप में जाना जाता है और इसे 'd' द्वारा दर्शाया जाता है। समांतर श्रेढ़ी के पहले पद को आमतौर पर ' $a$ ' या ' $a_{1}$ ' द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, $1,5,9,13,17,21,25,29,33,...$ एक समांतर श्रेढ़ी है क्योंकि प्रत्येक दो क्रमिक पदों के बीच का अंतर समान (जैसे $4$ ) होता है। यानी, $5-1=9-5=13-9=17-13=21-17=25-21=29-25=33-29=...=4$ । हम यह भी देख सकते हैं कि इस AP का प्रत्येक पद (पहले पद को छोड़कर) अपने पिछले पद में $4$ जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस समांतर श्रेढ़ी में:

$a=1$ (पहला पद)
$d=4$ (पदों के बीच "सामान्य अंतर")

इस प्रकार, एक समांतर श्रेढ़ी, सामान्य रूप से, इस प्रकार लिखी जा सकती है: $\{a,a+d,a+2d,a+3d,...\}$

चित्र - समांतर श्रेढ़ी

उपरोक्त उदाहरण में हमारे पास है: $\{a,a+d,a+2d,a+3d,...\}=\{1,1+4,1+2\times 4,1+3\times 4,...\}=\{1,5,9,13,...\}$

समांतर श्रेढ़ी सूत्र

AP के पहले पद ' $a$ ' और सार्व अंतर ' $d$ ' के लिए, नीचे समांतर श्रेढ़ी सूत्रों की एक सूची दी गई है, जिनका उपयोग प्रायः AP से संबंधित विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है:

AP का सार्व अंतर: $d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=...=a_{n}-a_{n}$ _-1

AP का $n$ वाँ पद: $a_{n}=a+(n-1)d$

AP के $n$ पदों का योग: $S_{n}=n/2(2a+(n-1)d)=n/2(a+l)$ , जहाँ $l$ समांतर श्रेढ़ी का अंतिम पद है।

निम्नलिखित छवि सभी AP सूत्रों को समझती है।

समांतर श्रेढ़ी में प्रयुक्त सामान्य शब्द

अब से, हम समांतर श्रेढ़ी को AP के रूप में संक्षिप्त करेंगे। AP को साधारणतः इस प्रकार दर्शाया जाता है: a1, a2, a3, . . . इसमें निम्नलिखित शब्दावली उपस्थित है।

समांतर श्रेढ़ी का पहला पद

जैसा कि नाम से पता चलता है, AP का पहला पद श्रेढ़ी की पहली संख्या है। इसे आमतौर पर a1 (या) a द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 6, 13, 20, 27, 34, . . . . में पहला पद 6 है। यानी, a1 = 6 (या) a = 6.

समांतर श्रेढ़ी का सामान्य अंतर

हम जानते हैं कि AP एक ऐसा अनुक्रम है जहाँ पहले पद को छोड़कर प्रत्येक पद अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यहाँ, "निश्चित संख्या" को "सामान्य अंतर" कहा जाता है और इसे 'd' द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, यदि पहला पद a1 है, तो: दूसरा पद a1+ d है, तीसरा पद a1+ d + d = a1 + 2d है, और चौथा पद a1 + 2d + d = a1+ 3d है और इसी तरह आगे भी। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 6, 13, 20, 27, 34,. . . में, पहले पद को छोड़कर प्रत्येक पद, अपने पिछले पद में 7 जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, सामान्य अंतर है, d=7। सामान्य तौर पर, सामान्य अंतर एक AP के प्रत्येक दो क्रमिक पदों के बीच का अंतर होता है। इस प्रकार, AP के सामान्य अंतर की गणना करने का सूत्र है: d = an - an-1।

यहाँ उनके पहले पद और सामान्य अंतर के साथ कुछ AP उदाहरण दिए गए हैं।

6, 13, 20, 27, 34, . . . . एक AP है जिसका पहला पद 6 है और सार्व अंतर 7 है।

91, 81, 71, 61, 51, . . . . एक AP है जिसका पहला पद 91 है और सार्व अंतर -10 है।

π, 2π, 3π, 4π, 5π,… एक AP है जिसका पहला पद π है और सार्व अंतर π है।

-√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3,… एक AP है जिसका पहला पद -√3 है और सार्व अंतर -√3 है।

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-Arithmetic Progression(A.P)
+समांतर श्रेढ़ी (AP) एक [[अनुक्रम]] है जहाँ प्रत्येक दो क्रमिक पदों के बीच का अंतर समान होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>2, 6, 10, 14, ...</math> एक समांतर श्रेढ़ी (AP) है क्योंकि यह एक  प्रतिरूप का अनुसरण करता है जहाँ प्रत्येक संख्या पिछले पद में <math>4</math> जोड़कर प्राप्त की जाती है। AP का एक वास्तविक जीवन उदाहरण एक कर्मचारी की वार्षिक आय द्वारा गठित अनुक्रम है जिसकी आय हर साल $5000 की एक निश्चित राशि से बढ़ती है।
+इस लेख में, हम समांतर श्रेढ़ी की अवधारणा, इसके <math>n</math>वें पद, सामान्य अंतर और AP के <math>n</math> पदों के योग को खोजने के लिए AP सूत्रों का पता लगाएंगे। हम अवधारणा की बेहतर समझ के लिए समांतर श्रेढ़ी सूत्र के आधार पर विभिन्न उदाहरणों को हल करेंगे।
+== परिभाषा ==
+समांतर श्रेढ़ी (AP) संख्याओं का एक क्रम है, जहाँ प्रत्येक दो क्रमिक पदों के बीच का अंतर समान होता है। इस श्रेढ़ी में, पहले पद को छोड़कर प्रत्येक पद, अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस निश्चित संख्या को सामान्य अंतर के रूप में जाना जाता है और इसे 'd' द्वारा दर्शाया जाता है। समांतर श्रेढ़ी के पहले पद को आमतौर पर '<math>a</math>' या '<math>a_1 </math>' द्वारा दर्शाया जाता है।
+उदाहरण के लिए, <math>1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, ...</math>एक समांतर श्रेढ़ी है क्योंकि प्रत्येक दो क्रमिक पदों के बीच का अंतर समान (जैसे <math>4</math>) होता है। यानी,<math>5 - 1 = 9 - 5 = 13 - 9 = 17 - 13 = 21 - 17 = 25 - 21 = 29 - 25 = 33 - 29 = ... = 4</math>।  हम यह भी देख सकते हैं कि इस AP का प्रत्येक पद (पहले पद को छोड़कर) अपने पिछले पद में <math>4</math> जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस समांतर श्रेढ़ी  में:
+* <math>a = 1</math> (पहला पद)
+* <math>d = 4</math> (पदों के बीच "सामान्य अंतर")
+इस प्रकार, एक समांतर श्रेढ़ी, सामान्य रूप से, इस प्रकार लिखी जा सकती है:<math>\{a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...\}</math>
+[[File:समांतर श्रेढ़ी.jpg|thumb|चित्र - समांतर श्रेढ़ी]]
+उपरोक्त उदाहरण में हमारे पास है:<math>\{a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... \} = \{1, 1 + 4, 1 + 2 \times 4, 1 + 3 \times 4, ... \} = \{1, 5, 9, 13, ... \}</math>
+== समांतर श्रेढ़ी सूत्र ==
+AP के पहले पद '<math>a</math>' और सार्व अंतर '<math>d</math>' के लिए, नीचे समांतर श्रेढ़ी सूत्रों की एक सूची दी गई है, जिनका उपयोग प्रायः AP से संबंधित विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है:
+AP का सार्व अंतर: <math>d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = ... = a_n - a_n</math><sub>-1</sub>
+AP का <math>n</math>वाँ पद: <math>a_n = a + (n - 1)d</math>
+AP के <math>n</math> पदों का योग: <math>S_n = n/2 (2a + (n - 1) d) = n/2 (a + l)</math>, जहाँ <math>l</math> समांतर श्रेढ़ी का अंतिम पद है।
+निम्नलिखित छवि सभी AP सूत्रों को समझती है।
+== समांतर श्रेढ़ी में प्रयुक्त सामान्य शब्द ==
+अब से, हम समांतर श्रेढ़ी को AP के रूप में संक्षिप्त करेंगे। AP को साधारणतः  इस प्रकार दर्शाया जाता है: a1, a2, a3, . . . इसमें निम्नलिखित शब्दावली उपस्थित है।
+=== समांतर श्रेढ़ी का पहला पद ===
+जैसा कि नाम से पता चलता है, AP का पहला पद श्रेढ़ी की पहली संख्या है। इसे आमतौर पर a1 (या) a द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 6, 13, 20, 27, 34, . . . . में पहला पद 6 है। यानी, a1 = 6 (या) a = 6.
+=== समांतर श्रेढ़ी का सामान्य अंतर ===
+हम जानते हैं कि AP एक ऐसा अनुक्रम है जहाँ पहले पद को छोड़कर प्रत्येक पद अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यहाँ, "निश्चित संख्या" को "सामान्य अंतर" कहा जाता है और इसे 'd' द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, यदि पहला पद a1 है, तो: दूसरा पद a1+ d है, तीसरा पद a1+ d + d = a1 + 2d है, और चौथा पद a1 + 2d + d = a1+ 3d है और इसी तरह आगे भी। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 6, 13, 20, 27, 34,. . . में, पहले पद को छोड़कर प्रत्येक पद, अपने पिछले पद में 7 जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, सामान्य अंतर है, d=7। सामान्य तौर पर, सामान्य अंतर एक AP के प्रत्येक दो क्रमिक पदों के बीच का अंतर होता है। इस प्रकार, AP के सामान्य अंतर की गणना करने का सूत्र है: d = an - an-1।
+यहाँ उनके पहले पद और सामान्य अंतर के साथ कुछ AP उदाहरण दिए गए हैं।
+, 13, 20, 27, 34, . . . . एक AP है जिसका पहला पद 6 है और सार्व अंतर 7 है।
+, 81, 71, 61, 51, . . . . एक AP है जिसका पहला पद 91 है और सार्व अंतर -10 है।
+π, 2π, 3π, 4π, 5π,… एक AP है जिसका पहला पद π है और सार्व अंतर π है।
+-√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3,… एक AP है जिसका पहला पद -√3 है और सार्व अंतर -√3 है।
 [[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]