सीमाएं

गणित में सीमाओं को उन मानों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी फ़ंक्शन द्वारा दिए गए इनपुट मानों के लिए आउटपुट तक पहुँचते हैं। सीमाएँ कलन और गणितीय विश्लेषण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं और इनका उपयोग समाकलन, व्युत्पन्न और निरंतरता को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग विश्लेषण प्रक्रिया में किया जाता है, और यह हमेशा किसी विशेष बिंदु पर फ़ंक्शन के व्यवहार से संबंधित होता है। अनुक्रम की सीमा को टोपोलॉजिकल नेट की सीमा की अवधारणा में और अधिक सामान्यीकृत किया जाता है और सिद्धांत श्रेणी में सीमा और प्रत्यक्ष सीमा से संबंधित होता है। आम तौर पर, समाकलन को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है, अर्थात् निश्चित और अनिश्चित समाकलन। निश्चित समाकलन के लिए, ऊपरी सीमा और निचली सीमा को ठीक से परिभाषित किया जाता है। जबकि अनिश्चित समाकलन बिना किसी सीमा के व्यक्त किए जाते हैं, और फ़ंक्शन को एकीकृत करते समय इसमें एक मनमाना स्थिरांक होगा। आइए हम फ़ंक्शन की सीमाओं की परिभाषा और प्रतिनिधित्व पर विस्तार से चर्चा करें, गुणों और उदाहरणों के साथ।

परिभाषा

गणित में सीमाएँ अद्वितीय वास्तविक संख्याएँ होती हैं। आइए एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन “f” और वास्तविक संख्या “c” पर विचार करें, सीमा को सामान्य रूप से

lim

x

→

c

f

(

x

)

=

L

के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे “x के f की सीमा, जैसे-जैसे x c के करीब पहुँचता है L के बराबर होता है” के रूप में पढ़ा जाता है। “lim” सीमा को दर्शाता है, और तथ्य यह है कि फ़ंक्शन f(x) सीमा L के करीब पहुँचता है क्योंकि x c के करीब पहुँचता है, इसे दाएँ तीर द्वारा वर्णित किया गया है।

सीमाएँ और फ़ंक्शन

फ़ंक्शन दो अलग-अलग सीमाओं तक पहुँच सकता है। एक जहाँ चर सीमा से बड़े मानों के माध्यम से अपनी सीमा तक पहुँचता है और दूसरा जहाँ चर सीमा से छोटे मानों के माध्यम से अपनी सीमा तक पहुँचता है। ऐसे मामले में, सीमा परिभाषित नहीं होती है लेकिन दाएँ और बाएँ हाथ की सीमाएँ मौजूद होती हैं।

जब

lim

x

→

a

f

(

x

)

=

A

+

a के दाएँ x के निकट f के मान दिए गए हैं। इस मान को a पर f(x) की दाएँ हाथ की सीमा कहा जाता है।

जब

lim

x

→

a

f

(

x

)

=

A

−

a के बाएँ x के निकट f के मान दिए गए हैं। इस मान को a पर f(x) की बाएँ हाथ की सीमा कहा जाता है।

फ़ंक्शन की सीमा तभी मौजूद होती है जब बाएँ हाथ की सीमा दाएँ हाथ की सीमा के बराबर हो।

lim

x

→

a

−

1

f

(

x

)

=

lim

x

→

a

+

f

(

x

)

=

L

नोट: फ़ंक्शन की सीमा किसी भी दो लगातार पूर्णांकों के बीच मौजूद होती है।

सीमाओं के गुणधर्म

फ़ंक्शन की सीमाओं के कुछ गुण इस प्रकार हैं: यदि सीमाएँ

lim

x

→

a

f(x) और

lim

x

→

a

g(x) मौजूद हैं, और n एक पूर्णांक है, तो,

जोड़ने का नियम:

lim

x

→

a

[

f

(

x

)

+

g

(

x

)

]

=

lim

x

→

a

f

(

x

)

+

lim

x

→

a

g

(

x

)

घटाने का नियम:

lim

x

→

a

[

f

(

x

)

−

g

(

x

)

]

=

lim

x

→

a

f

(

x

)

−

lim

x

→

a

g

(

x

)

गुणन का नियम:

lim

x

→

a

[

f

(

x

)

⋅

g

(

x

)

]

=

lim

x

→

a

f

(

x

)

⋅

lim

x

→

a

g

(

x

)

विभाजन का नियम:

lim

x

→

a

[

f

(

x

)

g

(

x

)

]

=

lim

x

→

a

f

(

x

)

lim

x

→

a

g

(

x

)

,

जहाँ

lim

x

→

a

g

(

x

)

≠

0

शक्ति का नियम:

lim

x

→

a

c

=

c

विशेष नियम:

1. limx→axn−anx−a=na(n−1), n के सभी वास्तविक मानों के लिए.

2. limθ→0sinθθ=1

3. limθ→0tanθθ=1

4. limθ→01−cosθθ=0

5. limθ→0cosθ=1

6. limx→0ex=1

7. limx→0ex−1x=1

8. limx→∞(1+1x)x=e

दो चरों वाले फ़ंक्शन की सीमा

यदि हमारे पास एक फ़ंक्शन f(x, y) है जो दो चर x और y पर निर्भर करता है, तो इस दिए गए फ़ंक्शन की सीमा, मान लीजिए, C है (x,y) → (a,b) बशर्ते कि ϵ > 0, Δ > 0 मौजूद है जैसे कि |f(x, y)-C| < ϵ जब भी 0 <

√

(

x

−

a

)

2

+

(

y

−

b

)

2

< Δ . इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

lim

(

x

,

y

)

→

(

a

,

b

)

f(x,y) = C.

फ़ंक्शन की सीमाएँ और निरंतरता

फ़ंक्शन की सीमाएँ और फ़ंक्शन की निरंतरता एक दूसरे से निकटता से संबंधित हैं। फ़ंक्शन निरंतर या असंतत हो सकते हैं। किसी फ़ंक्शन के निरंतर होने के लिए, यदि फ़ंक्शन के इनपुट में छोटे परिवर्तन हैं तो आउटपुट में भी छोटे परिवर्तन होने चाहिए।

प्राथमिक कलन में, शर्त f(X) →λ as x → a का अर्थ है कि संख्या f(x) को संख्या λ के जितना करीब चाहें उतना रखा जा सकता है, बशर्ते हम संख्या को संख्या a के बराबर न लें लेकिन a के काफी करीब रखें। जो दर्शाता है कि f(a) λ से बहुत दूर हो सकता है और f(a) को परिभाषित करने की भी कोई आवश्यकता नहीं है। फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति के लिए हम जो बहुत महत्वपूर्ण परिणाम उपयोग करते हैं वह है: किसी संख्या a पर दिए गए फ़ंक्शन f का f'(a) इस प्रकार माना जा सकता है,

f'(a) =

lim

x

→

a

f

(

x

)

−

f

(

a

)

x

−

a

जटिल कार्यों की सीमाएँ

किसी जटिल चर के कार्यों को विभेदित करने के लिए नीचे दिए गए सूत्र का पालन करें:

फ़ंक्शन

f

(

z

)

को

z

=

z

0

पर अवकलनीय कहा जाता है यदि

lim

Δ

z

→

0

f

(

z

0

+

Δ

z

)

−

f

(

z

0

)

Δ

z

विद्यमान है। यहाँ

Δ

z

=

Δ

x

+

i

Δ

y

घातांकीय फलनों की सीमाएँ

किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, आधार a के साथ घातांकीय फलन f (x) = ax है जहाँ a >0 है और a शून्य के बराबर नहीं है। घातांकीय फलनों की सीमाओं से निपटने के दौरान उपयोग किए जाने वाले सीमाओं के कुछ महत्वपूर्ण नियम नीचे दिए गए हैं।

For f(b) >1

• limx→∞bx=∞
• limx→−∞bx=0

For 0<b<1

• limx→∞bx=0
• limx→−∞bx=∞