त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएं: Difference between revisions

Revision as of 08:25, 24 November 2024

त्रिकोणमिति गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है। हम जानते हैं कि छह त्रिकोणमितीय फलन हैं और त्रिकोणमितीय की सीमा प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन की सीमा है। हम आसानी से त्रिकोणमितीय फलन की सीमा ज्ञात कर सकते हैं और विचार के बिंदु के साथ दिए गए फलन के आधार पर त्रिकोणमितीय फलन की सीमा मौजूद हो भी सकती है और नहीं भी।

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, हम फ़ंक्शन चर को सीमा मान से बदलकर सभी छह त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमा आसानी से ले सकते हैं। त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की सीमा फ़ंक्शन के डोमेन और रेंज पर निर्भर करती है। इस लेख में, हम सभी छह त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की सीमा, उनके उदाहरण और अन्य के बारे में विस्तार से जानेंगे।

परिभाषा

त्रिकोणमितीय फलन वह फलन है जो त्रिभुज के कोणों और त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध को दर्शाता है। इन्हें वृत्ताकार फलन भी कहा जाता है क्योंकि ये कुछ समय बाद अपने मान को वृत्ताकार तरीके से दोहराते हैं।

गणित में सीमाएँ अद्वितीय वास्तविक संख्याएँ होती हैं। आइए एक वास्तविक-मूल्यवान फलन “ $f$ ” और वास्तविक संख्या “ $c$ ” पर विचार करें, सीमा को सामान्य रूप से $\textstyle \lim _{x\to c}\displaystyle f(x)=L$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे “ $x$ के $f$ की सीमा, जैसे-जैसे $x$ , $c$ के करीब पहुँचता है $L$ के बराबर होता है” के रूप में पढ़ा जाता है। “ $lim$ ” सीमा को दर्शाता है, और तथ्य यह है कि फलन $f(x)$ सीमा $L$ के करीब पहुँचता है क्योंकि $x$ , $c$ के करीब पहुँचता है, इसे दाएँ तीर द्वारा वर्णित किया गया है।

त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएँ

त्रिकोणमितीय फलनों की परिमित सीमा, अर्थात् $x$ के परिमित मान के लिए त्रिकोणमितीय फलन की सीमा पर नीचे दी गई तालिका में चर्चा की गई है:

फलन	फलनों की सीमाएँ
sin x	limx⇢asin x = sin a
cos x	limx⇢acos x = cos a
tan x	limx⇢atan x = tan a
cosec x	limx⇢acosec x = cosec a
sec x	limx⇢asec x = sec a
cot x	limx⇢acot x = cot a

जैसा कि ऊपर दी गई तालिका से देखा जा सकता है, यह स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की परिमित सीमा कुछ अपवादों को छोड़कर परिमित मान में परिणत होती है। हम जानते हैं कि sin x और cos x के लिए उनकी सीमा -1 और 1 के बीच होती है और इसलिए अनंत सीमा के लिए उनका मान -1 और 1 के बीच दोलन करता है, उनका सटीक मान पाना संभव नहीं है और इस प्रकार अनंत पर उनका लिंट अपरिभाषित है। x के धनात्मक या ऋणात्मक अनंत तक पहुँचने के लिए, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की सीमा पर नीचे चर्चा की गई है।

त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमाओं के प्रमेय

हमारे पास दो प्रमेय हैं जिनका उपयोग त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमा को परिभाषित करने में किया जाता है, जो हैं,

प्रमेय 1

किसी भी दो वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन f(x) और g(x) के लिए जो एक ही डोमेन में परिभाषित हैं और उनके बीच संबंध f(x) ≤ g(x) है। हम इन फ़ंक्शन की सीमा को x पर ले सकते हैं जो a के करीब है, फिर,

limx⇢af(x) = f(a) और, limx⇢ag(x) = g(a)

यदि दोनों सीमाएँ मौजूद हैं तो हम आसानी से कह सकते हैं कि,

limx⇢af(x) ≤ limx⇢ag(x)

प्रमेय 2 (सैंडविच प्रमेय)

इस प्रमेय का उपयोग उन कार्यों की सीमा की गणना करने के लिए किया जाता है जिनकी सीमा की गणना आसानी से नहीं की जा सकती है जैसे (x = 0 पर sin x/x)। फ़ंक्शन g(x) को दो फ़ंक्शन h(x) और g(x) के बीच इस तरह से निचोड़ा या सैंडविच किया जाता है कि

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

उपरोक्त स्थिति का ग्राफ नीचे दिखाया गया है जो सैंडविच प्रमेय सीमा को दर्शाता है।

हम कह सकते हैं कि h(x) g(x) की ऊपरी सीमा है और f(x) बिंदु a पर इसकी निचली सीमा है जैसा कि ऊपर दिए गए ग्राफ में देखा जा सकता है:

lim_x→a h(x) = L and lim_x→a f(x) = L

जहाँ,

a वह बिंदु है जिस पर सीमा की गणना की जाती है, और

L सीमा का मान है।

Then,

limx→a g(x) = L

उदाहरण:

दिया गया: g(x) = x2sin(1/x), ज्ञात करें: limx→0 g(x)

समाधान:
हम जानते हैं,
-1≤ sin(1/x) ≤ 1 इसके डोमेन के अंतर्गत
x2 से गुणा करना
-x2 ≤ x2sin(1/x) ≤ x2
फिर मान लें कि f(x) = -x2 और h(x) = x2
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
सैंडविच प्रमेय का उपयोग करते हुए,
चूँकि limx→a h(x) = limx→a f(x) = L
इसलिए,
limx→a g(x) = L
⇒ limx→0 f(x) = limx→0 -x2 = 0 और
⇒ limx→0 h(x) = limx→0 x2 = 0
इस प्रकार, limx→0 g(x) = 0

विभिन्न त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएँ

जैसा कि हम जानते हैं कि हमारे पास छह त्रिकोणमितीय फलन हैं, अर्थात्,
साइन
कोसाइन
स्पर्शरेखा
सेकेंट
कोसेकेंट
कोटेंजेंट
नीचे दिए गए लेख में प्रत्येक फलन की सीमा पर विस्तार से चर्चा की गई है।

विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों का ग्राफ

विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों का ग्राफ निम्नलिखित छवि में जोड़ा गया है:

IMAGE

@@ Line 1: / Line 1: @@
-Limits of Trigonometric Functions
+त्रिकोणमिति गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है। हम जानते हैं कि छह त्रिकोणमितीय फलन हैं और त्रिकोणमितीय की सीमा प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन की सीमा है। हम आसानी से त्रिकोणमितीय फलन की सीमा ज्ञात कर सकते हैं और विचार के बिंदु के साथ दिए गए फलन के आधार पर त्रिकोणमितीय फलन की सीमा मौजूद हो भी सकती है और नहीं भी।
+त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, हम फ़ंक्शन चर को सीमा मान से बदलकर सभी छह त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमा आसानी से ले सकते हैं। त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की सीमा फ़ंक्शन के डोमेन और रेंज पर निर्भर करती है। इस लेख में, हम सभी छह त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की सीमा, उनके उदाहरण और अन्य के बारे में विस्तार से जानेंगे।
+==परिभाषा==
+त्रिकोणमितीय फलन वह फलन है जो त्रिभुज के कोणों और त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध को दर्शाता है। इन्हें वृत्ताकार फलन भी कहा जाता है क्योंकि ये कुछ समय बाद अपने मान को वृत्ताकार तरीके से दोहराते हैं।
+गणित में सीमाएँ अद्वितीय [[वास्तविक संख्याएँ]] होती हैं। आइए एक वास्तविक-मूल्यवान फलन “<math>f </math>” और वास्तविक संख्या “<math>c</math>” पर विचार करें, सीमा को सामान्य रूप से  <math>\textstyle \lim_{x \to c} \displaystyle f(x)=L</math> के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे “<math>x</math> के <math>f </math> की सीमा, जैसे-जैसे <math>x</math>, <math>c</math> के करीब पहुँचता है <math>L</math> के बराबर होता है” के रूप में पढ़ा जाता है। “<math>lim</math>” सीमा को दर्शाता है, और तथ्य यह है कि फलन <math>f(x)</math> सीमा <math>L</math> के करीब पहुँचता है क्योंकि <math>x</math>, <math>c</math> के करीब पहुँचता है, इसे दाएँ तीर द्वारा वर्णित किया गया है।
+== त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएँ ==
+त्रिकोणमितीय फलनों की परिमित सीमा, अर्थात् <math>x</math> के परिमित मान के लिए त्रिकोणमितीय फलन की सीमा पर नीचे दी गई तालिका में चर्चा की गई है:
+{| class="wikitable"
+!फलन
+!फलनों की सीमाएँ
+|-
+|sin x
+|limx⇢asin x = sin a
+|-
+|cos x
+|limx⇢acos x = cos a
+|-
+|tan x
+|limx⇢atan x = tan a
+|-
+|cosec x
+|limx⇢acosec x = cosec a
+|-
+|sec x
+|limx⇢asec x = sec a
+|-
+|cot x
+|limx⇢acot x = cot a
+|}
+जैसा कि ऊपर दी गई तालिका से देखा जा सकता है, यह स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की परिमित सीमा कुछ अपवादों को छोड़कर परिमित मान में परिणत होती है। हम जानते हैं कि sin x और cos x के लिए उनकी सीमा -1 और 1 के बीच होती है और इसलिए अनंत सीमा के लिए उनका मान -1 और 1 के बीच दोलन करता है, उनका सटीक मान पाना संभव नहीं है और इस प्रकार अनंत पर उनका लिंट अपरिभाषित है। x के धनात्मक या ऋणात्मक अनंत तक पहुँचने के लिए, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की सीमा पर नीचे चर्चा की गई है।
+== त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमाओं के प्रमेय ==
+हमारे पास दो प्रमेय हैं जिनका उपयोग त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमा को परिभाषित करने में किया जाता है, जो हैं,
+प्रमेय 1
+किसी भी दो वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन f(x) और g(x) के लिए जो एक ही डोमेन में परिभाषित हैं और उनके बीच संबंध f(x) ≤ g(x) है। हम इन फ़ंक्शन की सीमा को x पर ले सकते हैं जो a के करीब है, फिर,
+limx⇢af(x) = f(a) और, limx⇢ag(x) = g(a)
+यदि दोनों सीमाएँ मौजूद हैं तो हम आसानी से कह सकते हैं कि,
+'''limx⇢af(x) ≤ limx⇢ag(x)'''
+प्रमेय 2 (सैंडविच प्रमेय)
+इस प्रमेय का उपयोग उन कार्यों की सीमा की गणना करने के लिए किया जाता है जिनकी सीमा की गणना आसानी से नहीं की जा सकती है जैसे (x = 0 पर sin x/x)। फ़ंक्शन g(x) को दो फ़ंक्शन h(x) और g(x) के बीच इस तरह से निचोड़ा या सैंडविच किया जाता है कि
+'''f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)'''
+उपरोक्त स्थिति का ग्राफ नीचे दिखाया गया है जो सैंडविच प्रमेय सीमा को दर्शाता है।
+हम कह सकते हैं कि h(x) g(x) की ऊपरी सीमा है और f(x) बिंदु a पर इसकी निचली सीमा है जैसा कि ऊपर दिए गए ग्राफ में देखा जा सकता है:
+'''lim<sub>x→a</sub> h(x) = L''' and '''lim<sub>x→a</sub> f(x) = L'''
+जहाँ,
+a वह बिंदु है जिस पर सीमा की गणना की जाती है, और
+L सीमा का मान है।
+Then,<blockquote>'''limx→a g(x) = L'''</blockquote>
+== उदाहरण: ==
+दिया गया: g(x) = x2sin(1/x), ज्ञात करें: limx→0 g(x)<blockquote>समाधान:
+हम जानते हैं,
+-1≤ sin(1/x) ≤ 1 इसके डोमेन के अंतर्गत
+x2 से गुणा करना
+-x2 ≤ x2sin(1/x) ≤ x2
+फिर मान लें कि f(x) = -x2 और h(x) = x2
+f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
+सैंडविच प्रमेय का उपयोग करते हुए,
+चूँकि limx→a h(x) = limx→a f(x) = L
+इसलिए,
+limx→a g(x) = L
+⇒ limx→0 f(x) = limx→0 -x2 = 0 और
+⇒ limx→0 h(x) = limx→0 x2 = 0
+इस प्रकार, limx→0 g(x) = 0</blockquote>
+== विभिन्न त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएँ ==
+<blockquote>जैसा कि हम जानते हैं कि हमारे पास छह त्रिकोणमितीय फलन हैं, अर्थात्,
+साइन
+कोसाइन
+स्पर्शरेखा
+सेकेंट
+कोसेकेंट
+कोटेंजेंट
+नीचे दिए गए लेख में प्रत्येक फलन की सीमा पर विस्तार से चर्चा की गई है।</blockquote>
+== विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों का ग्राफ ==
+विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों का ग्राफ निम्नलिखित छवि में जोड़ा गया है:
+IMAGE
 [[Category:सीमा और अवकलज]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]