अंतर्भाव: Difference between revisions

Latest revision as of 08:16, 25 November 2024

गणितीय तर्क गणितीय अवधारणाओं को समझने और लागू करने, विभिन्न क्षेत्रों में समस्याओं को सुलझाने और आलोचनात्मक सोच कौशल विकसित करने के लिए आवश्यक है, जो दैनिक जिंदगी और शैक्षणिक गतिविधियों में मूल्यवान हैं।

कथन

गणितीय प्रतीकों के माध्यम से तर्क के अध्ययन को गणितीय तर्क कहा जाता है। गणितीय तर्क को बूलियन तर्क के रूप में भी जाना जाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय तर्क में, हम कथन का सत्य मान निर्धारित करते हैं।

गणितीय तर्क में अंतर्भाव

“अगर”, “केवल अगर”, “यदि और केवल अगर” जैसे अंतर्भावों के साथ कथन लिखना संभव है। “अगर-तो” वाले कथन गणित में बहुत साधारण हैं।

यदि $p$ , तो $q$ वाला वाक्य निम्नलिखित उपायों से लिखा जा सकता है।

$p$ का तात्पर्य $q$ है ( $p\Rightarrow q$ द्वारा दर्शाया गया)

$p$ , $q$ के लिए एक पर्याप्त शर्त है

$q$ , $p$ के लिए एक आवश्यक शर्त है

$p$ केवल तभी जब $q$

$\sim q$ का तात्पर्य $\sim p$ है

‘यदि और केवल अगर’, जिसे ‘ $\Leftrightarrow$ ‘ प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है, दिए गए कथन $p$ और $q$ के लिए निम्नलिखित समतुल्य रूपों का अर्थ है।

(i) $p$ यदि और केवल यदि $q$

(ii) $q$ यदि और केवल यदि $p$

(iii) $p$ , $q$ के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है और इसके विपरीत

(iv) $p\Leftrightarrow q$

सशर्त कथन और उसका विलोम

सशर्त कथन

यदि संयोजक “यदि तो” का उपयोग यौगिक कथन " if $p$ then $q$ " बनाने के लिए किया जाता है, तो यह एक सशर्त कथन है; इसे अंतर्भाव भी कहा जाता है और इसे $p\Rightarrow q$ के रूप में लिखा जाता है।

सशर्त कथन का प्रतिधनात्मक है: ~q => ~p.

“यदि लैपटॉप में कीबोर्ड है, तो घड़ी में सुई है” यह कथन हमें दिया गया है।

मान लें कि $p$ = “लैपटॉप में कीबोर्ड है”, और $q$ = “घड़ी में सुई है”। दिया गया कथन $p\Rightarrow q$ के रूप में है। इस प्रकार, इसका प्रतिधनात्मक $\sim q\Rightarrow \sim p$ द्वारा प्राप्त होता है।

यह होगा, “यदि घड़ी में सुई नहीं है, तो लैपटॉप में कीबोर्ड नहीं है”।

सशर्त कथन का विलोम

यदि $p\Rightarrow q$ एक सशर्त कथन है, तो इसका विलोम $q\Rightarrow p$ है।

मान लीजिए कि सशर्त कथन है, “यदि लैपटॉप में कीबोर्ड है, तो घड़ी में सुई है”।

तब, इसका विलोम इस प्रकार प्राप्त होगा: “यदि घड़ी में सुई है, तो लैपटॉप में कीबोर्ड है”।

प्रतिधनात्मक और विलोम

प्रतिधनात्मक और विलोम कुछ अन्य कथन हैं जिन्हें “यदि-तो” वाले दिए गए कथन से बनाया जा सकता है।

कथन $p\Rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक कथन $\sim q\Rightarrow \sim p$ है।

कथन $p\Rightarrow q$ का विलोम कथन $q\Rightarrow p$ है।

$p\Rightarrow q$ अपने विलोम के साथ मिलकर $p$ देता है यदि और केवल यदि $q$

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-Implications
+गणितीय तर्क गणितीय अवधारणाओं को समझने और लागू करने, विभिन्न क्षेत्रों में समस्याओं को सुलझाने और आलोचनात्मक सोच कौशल विकसित करने के लिए आवश्यक है, जो दैनिक जिंदगी और शैक्षणिक गतिविधियों में मूल्यवान हैं।
+== कथन ==
+गणितीय प्रतीकों के माध्यम से तर्क के अध्ययन को गणितीय तर्क कहा जाता है। गणितीय तर्क को बूलियन तर्क के रूप में भी जाना जाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय तर्क में, हम [[कथन]] का सत्य मान निर्धारित करते हैं।
+== गणितीय तर्क में अंतर्भाव ==
+“अगर”, “केवल अगर”, “यदि और केवल अगर” जैसे अंतर्भावों  के साथ कथन लिखना संभव है। “अगर-तो” वाले कथन गणित में बहुत साधारण हैं।
+यदि <math>p</math>, तो <math>q</math> वाला वाक्य निम्नलिखित उपायों से लिखा जा सकता है।
+<math>p</math> का तात्पर्य <math>q</math> है (<math>p \Rightarrow q</math> द्वारा दर्शाया गया)
+<math>p</math>, <math>q</math> के लिए एक पर्याप्त शर्त है
+<math>q</math>, <math>p</math> के लिए एक आवश्यक शर्त है
+<math>p</math> केवल तभी जब <math>q</math>
+<math>\sim q</math> का तात्पर्य <math>\sim p</math>  है
+‘यदि और केवल अगर’, जिसे ‘<math>\Leftrightarrow</math>‘ प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है, दिए गए कथन <math>p</math> और <math>q</math> के लिए निम्नलिखित समतुल्य रूपों का अर्थ है।
+(i) <math>p</math> यदि और केवल यदि <math>q</math>
+(ii) <math>q</math> यदि और केवल यदि <math>p</math>
+(iii) <math>p</math>, <math>q</math> के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है और इसके विपरीत
+(iv) <math>p\Leftrightarrow q </math>
+== सशर्त कथन और उसका विलोम ==
+=== सशर्त कथन ===
+यदि संयोजक “यदि तो” का उपयोग यौगिक कथन " if  <math>p</math> then <math>q</math> " बनाने के लिए किया जाता है, तो यह एक सशर्त कथन है; इसे अंतर्भाव  भी कहा जाता है और इसे <math>p \Rightarrow q</math> के रूप में लिखा जाता है।
+सशर्त कथन का प्रतिधनात्मक है: ~q => ~p.
+“यदि लैपटॉप में कीबोर्ड है, तो घड़ी में सुई है” यह कथन हमें दिया गया है।
+मान लें कि  <math>p</math>= “लैपटॉप में कीबोर्ड है”, और <math>q</math>= “घड़ी में सुई है”। दिया गया कथन <math>p \Rightarrow q</math> के रूप में है। इस प्रकार, इसका प्रतिधनात्मक  <math>\sim q \Rightarrow \sim p </math> द्वारा प्राप्त होता है।
+यह होगा, “यदि घड़ी में सुई नहीं है, तो लैपटॉप में कीबोर्ड नहीं है”।
+=== सशर्त कथन का विलोम ===
+यदि <math>p \Rightarrow q</math> एक सशर्त कथन है, तो इसका विलोम <math>q  \Rightarrow p </math> है।
+मान लीजिए कि सशर्त कथन है, “यदि लैपटॉप में कीबोर्ड है, तो घड़ी में सुई है”।
+तब, इसका विलोम इस प्रकार प्राप्त होगा: “यदि घड़ी में सुई है, तो लैपटॉप में कीबोर्ड है”।
+== प्रतिधनात्मक और विलोम ==
+प्रतिधनात्मक और विलोम कुछ अन्य कथन हैं जिन्हें “यदि-तो” वाले दिए गए कथन से बनाया जा सकता है।
+कथन <math>p \Rightarrow q</math> का प्रतिधनात्मक कथन <math>\sim q \Rightarrow \sim p </math> है।
+कथन <math>p \Rightarrow q</math> का विलोम कथन <math>q  \Rightarrow p </math> है।
+<math>p \Rightarrow q</math> अपने विलोम के साथ मिलकर <math>p</math> देता है यदि और केवल यदि <math>q</math>
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