प्रायिकता का पुरातन सिद्धांत: Difference between revisions

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प्रायिकता गणित की वह शाखा है जो किसी घटना या प्रयोग के किसी भी परिणाम की संभावना से संबंधित है।

प्रायिकता के विभिन्न प्रकार हैं। पुरातन प्रायिकता किसी भी घटना के संभावित परिणाम को पुरातन तरीके से बताती है। दूसरी ओर, सांख्यिकीय प्रायिकता में यादृच्छिक घटनाओं और उनके आंकड़ों के संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या और प्रदर्शन को नियंत्रित करने वाले नियम उपस्थित होते हैं। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि पुरातन प्रायिकता में, संभावित परिणाम समान बाधाओं पर होते हैं।

उदाहरण के लिए, जब हम पासा फेंकते हैं, तो सम और विषम संख्या आने की $50-50\%$ प्रायिकता होती है। इसी तरह, जब हम सिक्का उछालते हैं, तो सिर या चिट आने की समान प्रायिकता होती है। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पुरातन प्रायिकता सबसे सरल और समझने में सबसे आसान प्रायिकता प्रकार है।

परिचय

पुरातन प्रायिकता किसी निश्चित घटना में किसी भी परिणाम की प्रायिकता का माप है। आइए पुरातन और सांख्यिकीय प्रायिकता की परिभाषा जानें और विषय में गहराई से उतरें।

पुरातन प्रायिकता उस दृष्टिकोण को संदर्भित करती है जो यह मानकर चलता है कि प्रयोगों में बुनियादी परिणामों की एक निश्चित संख्या होती है, जो समान रूप से संभावित होते हैं। किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।

पुरातन प्रायिकता

जैसा कि ऊपर बताया गया है, पुरातन प्रायिकता किसी भी घटना की पुरातन तरीके से होने वाली प्रायिकता है, यानी घटनाओं का बराबर होना। जब हम पासा फेंकते हैं, तो प्रत्येक संख्या की प्रायिकता बराबर के ${\frac {1}{6}}$ के बराबर होती है। यह पुरातन प्रायिकता का एक उदाहरण है।

पुरातन प्रायिकता, प्रायिकता सिद्धांत का एक दृष्टिकोण है जो संभाव्य प्रयोगों के बारे में पूरी तरह से तार्किक तर्क पर आधारित है, जिसका अर्थ है यादृच्छिक परिणामों की एक श्रृंखला के साथ प्रक्रियाएं। इस कारण से, इसे सैद्धांतिक प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है। मूल विचार यह मानना है कि एक यादृच्छिक प्रयोग में बुनियादी परिणामों की एक निश्चित संख्या होती है जो सभी के होने की समान प्रायिकता होती है।

यह सिक्के उछालने, पासा फेंकने या फेंटे गए डेक से निकाले गए कार्ड के परिणामों से जुड़ी समस्याओं का वर्णन करने के लिए उपयुक्त है। एक ''निष्पक्ष'' सिक्के या पासे का विचार काफी स्वाभाविक है, जिसमें सिर या पूंछ, या प्रत्येक संख्या, समान रूप से प्रकट होने की प्रायिकता है। इसी तरह, कार्ड का एक पूरी तरह से फेंटा हुआ डेक पूरी तरह से यादृच्छिक होगा, इसलिए किसी भी विशेष कार्ड के निकाले जाने की समान प्रायिकता होगी।

पुरातन प्रायिकता का सूत्र

पुरातन प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार है:

$P(A)={\frac {f}{N}}$

जहाँ $P(A)=$ पुरातन प्रायिकता

$f=$ आवृत्ति या अनुकूल परिणामों की संख्या

$N=$ कुल संभावित परिणामों की संख्या।

उदाहरण

दैनिक जीवन में पुरातन प्रायिकता के उदाहरण

उदाहरण 1

मान लीजिए कि कल आपके पास गणित की बहुविकल्पीय प्रारूप परीक्षा है। इसमें चार विकल्प होंगे: $A,B,C,$ और $D$ । आप जानते हैं कि इनमें से कोई भी विकल्प सही हो सकता है। इस प्रकार, प्रायिकता के सूत्र से, हम कह सकते हैं कि प्रत्येक स्थिति में सही उत्तर मिलने की प्रायिकता ${\frac {1}{4}}$ है, यानी प्रत्येक विकल्प के लिए $25\%$ ।

उदाहरण 2

हम साधारणतः बल्लेबाजी या गेंदबाजी के लिए टीमों का निर्णय करते समय एक सिक्का उछालते हैं। सिक्के के दो पहलू होते हैं, यानी एक चित और एक पट । इस प्रकार, चित और एक पट आने की समान प्रायिकताएँ हैं। इसलिए, यह प्रत्येक परिणाम की $50\%$ प्रायिकता के साथ पुरातन प्रायिकता का एक उदाहरण है।

निष्कर्ष

पुरातन प्रायिकता किसी भी घटना के संभावित परिणाम को पुरातन तरीके से बताती है, जबकि सांख्यिकीय प्रायिकता किसी भी यादृच्छिक सम का सांख्यिकीय प्रतिनिधित्व है। पुरातन प्रायिकता में, सभी परिणामों के घटित होने की समान प्रायिकता होती है। उदाहरण के लिए, पासा फेंकना या सिक्का उछालना।

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 प्रायिकता गणित की वह शाखा है जो किसी घटना या प्रयोग के किसी भी परिणाम की संभावना से संबंधित है।
-प्रायिकता के विभिन्न प्रकार हैं। पुरातन प्रायिकता किसी भी घटना के संभावित परिणाम को शास्त्रीय तरीके से बताती है। दूसरी ओर, सांख्यिकीय प्रायिकता में यादृच्छिक घटनाओं और उनके डेटा संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या और प्रदर्शन को नियंत्रित करने वाले नियम शामिल होते हैं। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि शास्त्रीय प्रायिकता में, संभावित परिणाम समान बाधाओं पर होते हैं। उदाहरण के लिए, जब हम पासा फेंकते हैं, तो सम और विषम संख्या आने की 50-50% संभावना होती है। इसी तरह, जब हम सिक्का उछालते हैं, तो सिर या पूंछ आने की समान संभावना होती है। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि शास्त्रीय प्रायिकता सबसे सरल और समझने में सबसे आसान प्रायिकता प्रकार है।
+प्रायिकता के विभिन्न प्रकार हैं। पुरातन प्रायिकता किसी भी घटना के संभावित परिणाम को पुरातन तरीके से बताती है। दूसरी ओर, सांख्यिकीय प्रायिकता में [[यादृच्छिक परीक्षण|यादृच्छिक]] घटनाओं और उनके [[आंकड़ों का आलेखीय निरूपण|आंकड़ों]] के संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या और प्रदर्शन को नियंत्रित करने वाले नियम उपस्थित होते हैं। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि पुरातन प्रायिकता में, संभावित परिणाम समान बाधाओं पर होते हैं।
+उदाहरण के लिए, जब हम पासा फेंकते हैं, तो सम और विषम संख्या आने की <math>50-50%</math> प्रायिकता  होती है। इसी तरह, जब हम सिक्का उछालते हैं, तो सिर या चिट आने की समान प्रायिकता  होती है। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पुरातन प्रायिकता सबसे सरल और समझने में सबसे आसान प्रायिकता प्रकार है।
 == परिचय ==
-शास्त्रीय संभाव्यता किसी निश्चित घटना में किसी भी परिणाम की संभावना का माप है। आइए शास्त्रीय और सांख्यिकीय संभाव्यता की परिभाषा जानें और विषय में गहराई से उतरें।
+पुरातन प्रायिकता  किसी निश्चित घटना में किसी भी परिणाम की प्रायिकता  का माप है। आइए पुरातन और [[प्रायिकता का सांख्यिकीय दृष्टिकोण|सांख्यिकीय प्रायिकता]]  की परिभाषा जानें और विषय में गहराई से उतरें।
-शास्त्रीय संभाव्यता उस दृष्टिकोण को संदर्भित करती है जो यह मानकर चलता है कि प्रयोगों में बुनियादी परिणामों की एक निश्चित संख्या होती है, जो समान रूप से संभावित होते हैं। किसी घटना की संभावना अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
+पुरातन प्रायिकता  उस दृष्टिकोण को संदर्भित करती है जो यह मानकर चलता है कि प्रयोगों में बुनियादी परिणामों की एक निश्चित संख्या होती है, जो समान रूप से संभावित होते हैं। किसी घटना की प्रायिकता  अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
 == पुरातन प्रायिकता ==
-जैसा कि ऊपर बताया गया है, शास्त्रीय संभावना किसी भी घटना की शास्त्रीय तरीके से होने वाली संभावना है, यानी घटनाओं का बराबर होना। जब हम पासा फेंकते हैं, तो प्रत्येक संख्या की संभावना बराबर के 1/6 के बराबर होती है। यह शास्त्रीय संभावना का एक उदाहरण है।
+जैसा कि ऊपर बताया गया है, पुरातन प्रायिकता  किसी भी घटना की पुरातन तरीके से होने वाली प्रायिकता  है, यानी घटनाओं का बराबर होना। जब हम पासा फेंकते हैं, तो प्रत्येक संख्या की प्रायिकता  बराबर के <math>\frac{1 }{6 }</math> के बराबर होती है। यह पुरातन प्रायिकता  का एक उदाहरण है।
-शास्त्रीय संभाव्यता संभाव्यता सिद्धांत का एक दृष्टिकोण है जो संभाव्य प्रयोगों के बारे में पूरी तरह से तार्किक तर्क पर आधारित है, जिसका अर्थ है यादृच्छिक परिणामों की एक श्रृंखला के साथ प्रक्रियाएं। इस कारण से, इसे सैद्धांतिक संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है। मूल विचार यह मानना है कि एक यादृच्छिक प्रयोग में बुनियादी परिणामों की एक निश्चित संख्या होती है जो सभी के होने की समान संभावना होती है।
+पुरातन प्रायिकता,  प्रायिकता सिद्धांत का एक दृष्टिकोण है जो संभाव्य प्रयोगों के बारे में पूरी तरह से तार्किक तर्क पर आधारित है, जिसका अर्थ है यादृच्छिक परिणामों की एक श्रृंखला के साथ प्रक्रियाएं। इस कारण से, इसे सैद्धांतिक प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है। मूल विचार यह मानना है कि एक यादृच्छिक प्रयोग में बुनियादी परिणामों की एक निश्चित संख्या होती है जो सभी के होने की समान प्रायिकता  होती है।
-यह सिक्के उछालने, पासा फेंकने या फेंटे गए डेक से निकाले गए कार्ड के परिणामों से जुड़ी समस्याओं का वर्णन करने के लिए उपयुक्त है। एक <nowiki>''निष्पक्ष''</nowiki> सिक्के या पासे का विचार काफी स्वाभाविक है, जिसमें सिर या पूंछ, या प्रत्येक संख्या, समान रूप से प्रकट होने की संभावना है। इसी तरह, कार्ड का एक पूरी तरह से फेंटा हुआ डेक पूरी तरह से यादृच्छिक होगा, इसलिए किसी भी विशेष कार्ड के निकाले जाने की समान संभावना होगी।
+यह सिक्के उछालने, पासा फेंकने या फेंटे गए डेक से निकाले गए कार्ड के परिणामों से जुड़ी समस्याओं का वर्णन करने के लिए उपयुक्त है। एक <nowiki>''निष्पक्ष''</nowiki> सिक्के या पासे का विचार काफी स्वाभाविक है, जिसमें सिर या पूंछ, या प्रत्येक संख्या, समान रूप से प्रकट होने की प्रायिकता  है। इसी तरह, कार्ड का एक पूरी तरह से फेंटा हुआ डेक पूरी तरह से यादृच्छिक होगा, इसलिए किसी भी विशेष कार्ड के निकाले जाने की समान प्रायिकता  होगी।
 == पुरातन प्रायिकता का सूत्र ==
-शास्त्रीय संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार है:
+पुरातन प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार है:
-P(A)= f/N
+<math>P(A)= \frac{f}{N}</math>
-जहाँ P(A)= शास्त्रीय संभाव्यता
+जहाँ <math>P(A)=</math> पुरातन प्रायिकता
-f= आवृत्ति या अनुकूल परिणामों की संख्या
+<math>f=</math>आवृत्ति या अनुकूल परिणामों की संख्या
-N= कुल संभावित परिणामों की संख्या।
+<math>N=</math>कुल संभावित परिणामों की संख्या।
 == उदाहरण ==
-दैनिक जीवन में शास्त्रीय प्रायिकता के उदाहरण
+दैनिक जीवन में पुरातन प्रायिकता के उदाहरण
 उदाहरण 1
-मान लीजिए कि कल आपके पास गणित की बहुविकल्पीय प्रारूप परीक्षा है। इसमें चार विकल्प होंगे: A, B, C और D. आप जानते हैं कि इनमें से कोई भी विकल्प सही हो सकता है। इस प्रकार, प्रायिकता के सूत्र से, हम कह सकते हैं कि प्रत्येक मामले में सही उत्तर मिलने की संभावना ¼ है, यानी प्रत्येक विकल्प के लिए 25%।
+मान लीजिए कि कल आपके पास गणित की बहुविकल्पीय प्रारूप परीक्षा है। इसमें चार विकल्प होंगे: <math>A, B, C,</math> और <math>D</math>। आप जानते हैं कि इनमें से कोई भी विकल्प सही हो सकता है। इस प्रकार, प्रायिकता के सूत्र से, हम कह सकते हैं कि प्रत्येक स्थिति में सही उत्तर मिलने की प्रायिकता <math>\frac{1 }{4  }</math> है, यानी प्रत्येक विकल्प के लिए <math>25%</math>।
 उदाहरण 2
-हम आमतौर पर बल्लेबाजी या गेंदबाजी के लिए टीमों का फैसला करते समय एक सिक्का उछालते हैं। सिक्के के दो पहलू होते हैं, यानी एक सिर और एक पूंछ। इस प्रकार, सिर और पूंछ आने की समान संभावनाएँ हैं। इसलिए, यह प्रत्येक परिणाम की 50% संभावना के साथ शास्त्रीय प्रायिकता का एक उदाहरण है।
+हम साधारणतः बल्लेबाजी या गेंदबाजी के लिए टीमों का निर्णय करते समय एक सिक्का उछालते हैं। सिक्के के दो पहलू होते हैं, यानी एक चित और एक पट । इस प्रकार, चित और एक पट आने की समान प्रायिकताएँ हैं। इसलिए, यह प्रत्येक परिणाम की <math>50 %</math> प्रायिकता  के साथ पुरातन प्रायिकता का एक उदाहरण है।
+== निष्कर्ष ==
+पुरातन प्रायिकता  किसी भी घटना के संभावित परिणाम को पुरातन तरीके से बताती है, जबकि सांख्यिकीय प्रायिकता  किसी भी यादृच्छिक सम का सांख्यिकीय प्रतिनिधित्व है। पुरातन प्रायिकता  में, सभी परिणामों के घटित होने की समान प्रायिकता  होती है। उदाहरण के लिए, पासा फेंकना या सिक्का उछालना।
 [[Category:प्रायिकता]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]