सन्निकटन

सन्निकटन किसी अन्य वस्तु के समान होता है, लेकिन बिल्कुल समान नहीं होता। सन्निकटन तब होता है जब कोई सटीक संख्यात्मक संख्या अज्ञात होती है या उसे प्राप्त करना कठिन होती है। गणित में, हम कुछ निश्चित मात्राओं के सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए अवकलन का उपयोग करते हैं।

मान लें कि $f$ एक दिया गया फ़ंक्शन है और $y=f(x)$ है। मान लें कि$\bigtriangleup x,x$में एक छोटी वृद्धि को दर्शाता है।

अब $y$ में वृद्धि $x$ में वृद्धि की तरह है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है

$\bigtriangleup y$, $\bigtriangleup y=f(x+\bigtriangleup x)-f(x)$ द्वारा दिया गया है

हम निम्नलिखित को परिभाषित करते हैं:

(i) $dx$ ($x$ का अवकलन ) $dx=\bigtriangleup x$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।

(ii) $dy$ ( $y$ का अवकलन ) $dy=f'(x)dx$ or $dy=(dy/dx)*\bigtriangleup x$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

यदि $dx=\bigtriangleup x$, $x,dy\approx \bigtriangleup y$ की तुलना में अपेक्षाकृत छोटा है।

उदाहरण:

${\sqrt {26}}$ का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यहां यदि दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है तो मूल के नीचे का मान ज्ञात करना बहुत आसान है लेकिन इस प्रकार की संख्याओं के लिए हमें फ़ंक्शन का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए डेरिवेटिव का उपयोग करना होगा।

मान लें कि f(x) =√x और इसका व्युत्पन्न f’(x)= 1/2x^1/2 है

अब हम सन्निकटन का सूत्र जानते हैं

∆y ≈ ∆x = (dy/dx). ∆x f(x+∆x)- f(x) = f’(x). ∆x f(x+∆x)= f(x) + f’(x). ∆x

Here we will assume x near to 25 which is a perfect square.

So we will assume x = 25 x2 – x1 = 26 – 25 = 1

Here tells us the change in x. Let x = 25 and now we will put the values in the formula

f(x + ∆x) = f(x) + f’(x). ∆x f(25 + 1)

= f(25) + f'(25) f(26) = √25 + (1/2.25^1/2).1

=  5 + 1/10 √26

= 5 + 0.1

=  5.1

सन्निकटन और त्रुटियाँ

यदि हम f(x) के व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं तो यह हमें अनंत रूप से छोटे अंतराल dx पर f(x) में सटीक परिवर्तन देता है। जैसा कि हम जानते हैं कि परिवर्तन की तात्कालिक दर को x में परिवर्तन के लिए असतत मान के रूप में सीमा का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है ताकि ∆x शून्य हो जाए।

Example 1: Find the value of (8.01)4/3 + (8.01)2(8.01)4/3 + (8.01)2

Solution:

Let y = f(x) = x4/3 + x2y = f(x) = x4/3 + x2

Let x0 = 8 so that y0 = 16 + 64 = 80

Δx = 0.01 ⇒ Δy = f′(x) × Δx = (43 x 1/3 + 2x) × Δx = (83+16) × 0.01

=0.563=0.1867  

⇒y0=y0+Δy

=80.1867