निश्चित समाकलन: Difference between revisions

Revision as of 17:10, 6 December 2024

निश्चित समाकलन आलेख में वक्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने में सहायता करता है। इसकी सीमाएँ होती हैं: आरंभ और अंत बिंदु जिसके भीतर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल परिकलित किया जाता है। मान लें कि $x$ -अक्ष के सापेक्ष वक्र $f(x)$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सीमा बिंदु $[a,b]$ हैं। तब निश्चित समाकलन की संगत व्यंजक ${\int _{a}^{b}}f(x)dx$ है। एकीकरण क्षेत्रों का योग है, और सीमाओं के भीतर का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निश्चित समाकलन का उपयोग किया जाता है।

समाकलन का अध्ययन तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में शुरू हुआ था, जिसका उपयोग वृत्तों, परवलय, दीर्घवृत्त आदि का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता था। आइए हम निश्चित समाकलनों और निश्चित समाकलनों के गुणों के बारे में अधिक जानें।

परिभाषा

एक निश्चित समाकलन दो निश्चित सीमाओं के बीच एक वक्र के नीचे का क्षेत्र है। निश्चित समाकलन को ${\int _{a}^{b}}f(x)dx$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ $a$ निचली सीमा है और $b$ ऊपरी सीमा है, $x$ -अक्ष के संदर्भ में परिभाषित फलन $f(x)$ के लिए। दो सीमाओं के बीच एक वक्र के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्र को आयतों में विभाजित करते हैं और उनका योग करते हैं। आयतों की संख्या जितनी अधिक होगी, क्षेत्र उतना ही सटीक होगा। इसलिए हम क्षेत्र को समान (बहुत छोटे) आकार वाले अनंत आयतों में विभाजित करते हैं और सभी क्षेत्रों को जोड़ते हैं। यह मूलभूत सिद्धांत है जो निश्चित समाकलन के पीछे निहित है।

निश्चित समाकलन सूत्र

निश्चित समाकलन सूत्रों का उपयोग निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। हमारे पास नीचे बताए गए अनुसार निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए दो सूत्र हैं। पहले सूत्र को "सीमा योग के रूप में निश्चित समाकलन" कहा जाता है और दूसरे सूत्र को "कलन का मूलभूत प्रमेय" कहा जाता है।

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\textstyle \lim _{n\to \infty }\displaystyle \textstyle \sum _{r=1}^{n}\displaystyle hf(a+rh),$ जहाँ $h={\frac {b-a}{n}}$
$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),$ जहाँ $F'(x)=f(x)$

सीमा योग के रूप में निश्चित समाकलन

जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, हम दो दी गई सीमाओं के बीच एक वक्र के नीचे के क्षेत्र को अनंत संख्या में आयतों के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इस अवधारणा का उपयोग करते हुए, एक निश्चित समाकल ${\int _{a}^{b}}f(x)dx$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम $[a,b]$ को अनंत संख्या में उपअंतरालों में विभाजित करके वक्र के नीचे के क्षेत्र को कई आयतों में विभाजित करते हैं। इस प्रकार, सीमा योग के रूप में निश्चित समाकल का सूत्र है:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\textstyle \lim _{n\to \infty }\displaystyle \textstyle \sum _{r=1}^{n}\displaystyle hf(a+rh)$

यहाँ $h={\frac {b-a}{n}}$ प्रत्येक उपअंतराल की लंबाई है।

FTC (फंडामेंटल थ्योरम ऑफ़ कैलकुलस) का उपयोग करके निश्चित समाकलन सूत्र

एक निश्चित समाकलन ${\int _{a}^{b}}f(x)dx$ का मूल्यांकन कलन के मूलभूत प्रमेय (FTC) का उपयोग करके किया जा सकता है। यह एक निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने का सबसे आसान तरीका है। यह सूत्र कहता है कि सबसे पहले $f(x)$ का प्रतिअवकलज (अनिश्चित समाकलन) ज्ञात करें (और इसे $F(x)$ से निरूपित करें), पहले ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें और फिर एक-एक करके निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें, और परिणामों को क्रम से घटाएँ। यानी,

$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),$ जहाँ $F'(x)=f(x)$

निश्चित समाकलन की गणना करे

जैसा कि हमने पिछले अनुभाग में सीखा है, हम निश्चित समाकल की गणना दो तरीकों से कर सकते हैं: सीमा योग के रूप में व्याख्या करके और कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके। हम इनमें से प्रत्येक सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकल $\int _{0}^{1}x^{2}dx$ का मूल्यांकन करेंगे और देखेंगे कि क्या हमें एक ही उत्तर मिलता है।

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-निश्चित समाकलन ग्राफ में वक्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करता है। इसकी सीमाएँ होती हैं: आरंभ और अंत बिंदु जिसके भीतर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल परिकलित किया जाता है। मान लें कि x-अक्ष के सापेक्ष वक्र f(x) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सीमा बिंदु [a, b] हैं। तब निश्चित समाकलन की संगत अभिव्यक्ति ∫baf(x)dx है। एकीकरण क्षेत्रों का योग है, और सीमाओं के भीतर का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निश्चित समाकलन का उपयोग किया जाता है।
+निश्चित समाकलन आलेख में वक्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने में सहायता करता है। इसकी सीमाएँ होती हैं: आरंभ और अंत बिंदु जिसके भीतर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल परिकलित किया जाता है। मान लें कि <math>x</math>-अक्ष के सापेक्ष वक्र <math>f(x)</math> का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सीमा बिंदु <math>[a, b]</math>  हैं। तब निश्चित समाकलन की संगत व्यंजक <math>{\int_{a}^{b} }f(x)dx</math> है। एकीकरण क्षेत्रों का योग है, और सीमाओं के भीतर का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निश्चित समाकलन का उपयोग किया जाता है।
-समाकलन का अध्ययन तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में शुरू हुआ था, जिसका उपयोग वृत्तों, परवलय, दीर्घवृत्त आदि का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता था। आइए हम निश्चित समाकलनों और निश्चित समाकलनों के गुणों के बारे में अधिक जानें।
+समाकलन का अध्ययन तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में शुरू हुआ था, जिसका उपयोग [[वृत्त|वृत्तों]], परवलय, [[दीर्घवृत्त]] आदि का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता था। आइए हम निश्चित समाकलनों और निश्चित समाकलनों के गुणों के बारे में अधिक जानें।
-निश्चित समाकलन क्या है?
+== परिभाषा ==
+एक निश्चित समाकलन दो निश्चित सीमाओं के बीच एक वक्र के नीचे का क्षेत्र है। निश्चित समाकलन को <math>{\int_{a}^{b} }f(x)dx</math> के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ <math>a</math> निचली सीमा है और <math>b</math> ऊपरी सीमा है, <math>x</math>-अक्ष के संदर्भ में परिभाषित फलन <math>f(x)</math>के लिए। दो सीमाओं के बीच एक वक्र के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्र को आयतों में विभाजित करते हैं और उनका योग करते हैं। आयतों की संख्या जितनी अधिक होगी, क्षेत्र उतना ही सटीक होगा। इसलिए हम क्षेत्र को समान (बहुत छोटे) आकार वाले अनंत आयतों में विभाजित करते हैं और सभी क्षेत्रों को जोड़ते हैं। यह मूलभूत सिद्धांत है जो निश्चित समाकलन के पीछे निहित है।
-एक निश्चित समाकलन दो निश्चित सीमाओं के बीच एक वक्र के नीचे का क्षेत्र है। निश्चित समाकलन को
-∫baf()dx के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ a निचली सीमा है और b ऊपरी सीमा है, x-अक्ष के संदर्भ में परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के लिए। दो सीमाओं के बीच एक वक्र के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्र को आयतों में विभाजित करते हैं और उनका योग करते हैं। आयतों की संख्या जितनी अधिक होगी, क्षेत्र उतना ही सटीक होगा। इसलिए हम क्षेत्र को समान (बहुत छोटे) आकार वाले अनंत आयतों में विभाजित करते हैं और सभी क्षेत्रों को जोड़ते हैं। यह मूलभूत सिद्धांत है जो निश्चित समाकलन के पीछे निहित है।
-निश्चित समाकलन सूत्र
+== निश्चित समाकलन सूत्र ==
 निश्चित समाकलन सूत्रों का उपयोग निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। हमारे पास नीचे बताए गए अनुसार निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए दो सूत्र हैं। पहले सूत्र को "सीमा योग के रूप में निश्चित समाकलन" कहा जाता है और दूसरे सूत्र को "कलन का मूलभूत प्रमेय" कहा जाता है।
-* ∫baf(x)dx=limn→∞∑nr=1hf(a+rh), where h=b−an
+* <math>\int_{a }^{b } f(x)dx=\textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \textstyle \sum_{r =1}^n  \displaystyle h f(a+rh),</math> जहाँ  <math>h=\frac{b-a}{n}</math>
-* ∫baf(x)dx=F(b)−F(a), where F'(x) = f(x)
+* <math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a), </math> जहाँ  <math>F'(x) = f(x)</math>
-सीमा योग के रूप में निश्चित समाकल
-जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, हम दो दी गई सीमाओं के बीच एक वक्र के नीचे के क्षेत्र को अनंत संख्या में आयतों के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इस अवधारणा का उपयोग करते हुए, एक निश्चित समाकल ∫baf(x)dx का मूल्यांकन करने के लिए, हम [a, b] को अनंत संख्या में उपअंतरालों में विभाजित करके वक्र के नीचे के क्षेत्र को कई आयतों में विभाजित करते हैं। इस प्रकार, सीमा योग के रूप में निश्चित समाकल का सूत्र है:
-∫baf(x)dx=limn→∞∑nr=1hf(a+rh)
-Here h=b−an is the length of each subinterval.
+== सीमा योग के रूप में निश्चित समाकलन ==
+जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, हम दो दी गई सीमाओं के बीच एक वक्र के नीचे के क्षेत्र को अनंत संख्या में आयतों के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इस अवधारणा का उपयोग करते हुए, एक निश्चित समाकल <math>{\int_{a}^{b} }f(x)dx</math> का मूल्यांकन करने के लिए, हम <math>[a, b]</math> को अनंत संख्या में उपअंतरालों में विभाजित करके वक्र के नीचे के क्षेत्र को कई आयतों में विभाजित करते हैं। इस प्रकार, सीमा योग के रूप में निश्चित समाकल का सूत्र है:
-FTC का उपयोग करके निश्चित समाकलन सूत्र
+<math>\int_{a }^{b } f(x)dx=\textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \textstyle \sum_{r =1}^n  \displaystyle h f(a+rh)</math>
-एक निश्चित समाकलन ∫baf(x)dx
+यहाँ  <math>h=\frac{b-a}{n}</math>  प्रत्येक उपअंतराल की लंबाई है।
-का मूल्यांकन कलन के मूलभूत प्रमेय (FTC) का उपयोग करके किया जा सकता है। यह एक निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने का सबसे आसान तरीका है। यह सूत्र कहता है कि सबसे पहले f(x) का प्रतिअवकलज (अनिश्चित समाकलन) ज्ञात करें (और इसे F(x) से निरूपित करें), पहले ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें और फिर एक-एक करके निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें, और परिणामों को क्रम से घटाएँ। यानी,
+FTC (फंडामेंटल थ्योरम ऑफ़ कैलकुलस) का उपयोग करके निश्चित समाकलन सूत्र
-∫baf(x)dx=F(b)−F(a), where F'(x) = f(x).
+एक निश्चित समाकलन <math>{\int_{a}^{b} }f(x)dx</math>  का '''मूल्यांकन कलन के मूलभूत प्रमेय''' (FTC) का उपयोग करके किया जा सकता है। यह एक निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने का सबसे आसान तरीका है। यह सूत्र कहता है कि सबसे पहले <math>f(x)</math> का प्रतिअवकलज (अनिश्चित समाकलन) ज्ञात करें (और इसे <math>F(x)</math> से निरूपित करें), पहले ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें और फिर एक-एक करके निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें, और परिणामों को क्रम से घटाएँ। यानी,
-निश्चित समाकल की गणना करें
+<math>\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a), </math> जहाँ <math>F'(x) = f(x)</math>
-जैसा कि हमने पिछले अनुभाग में सीखा है, हम निश्चित समाकल की गणना दो तरीकों से कर सकते हैं: सीमा योग के रूप में व्याख्या करके और कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके। हम इनमें से प्रत्येक सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकल ∫10x2dx का मूल्यांकन करेंगे और देखेंगे कि क्या हमें एक ही उत्तर मिलता है।
+== निश्चित समाकलन की गणना करे ==
+जैसा कि हमने पिछले अनुभाग में सीखा है, हम निश्चित समाकल की गणना दो तरीकों से कर सकते हैं: सीमा योग के रूप में व्याख्या करके और कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके। हम इनमें से प्रत्येक सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकल <math>\int_{0}^{1 } x^2dx</math> का मूल्यांकन करेंगे और देखेंगे कि क्या हमें एक ही उत्तर मिलता है।
 [[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]