अनिश्चित समाकलन: Difference between revisions

Revision as of 13:30, 7 December 2024

अनिश्चित समाकलन, किसी फलन का बिना किसी सीमा का समाकलन है। समाकलन, अवकलन की विपरीत/प्रतिलोम प्रक्रिया है और इसे फलन का प्रतिअवकलज कहा जाता है। अनिश्चित समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण भाग है और समाकलन पर सीमित बिंदुओं का अनुप्रयोग इसे निश्चित समाकलन में बदल देता है। समाकलन को फलन $f(x)$ के लिए परिभाषित किया गया है और यह निर्देशांक अक्षों में से किसी एक के संदर्भ में वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्र को ज्ञात करने में सहायता करता है।

अनिश्चित समाकलन को भागों द्वारा समाकलन, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, आंशिक भिन्नों का समाकलन और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की विभिन्न विधियों के माध्यम से हल किया जाता है। आइए अनिश्चित समाकल, महत्वपूर्ण सूत्र, और उदाहरण के बारे में अधिक जानें।

परिभाषा

अनिश्चित समाकलन, वे समाकलन हैं जिनकी गणना अवकलन की विपरीत प्रक्रिया द्वारा की जा सकती है और उन्हें फलन के प्रतिअवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। किसी फलन $f(x)$ के लिए, यदि व्युत्पन्न को $f'(x)$ द्वारा दर्शाया जाता है, तो परिणामी $f'(x)$ का समाकलन प्रारंभिक फलन $f(x)$ को वापस देता है। समाकलन की इस प्रक्रिया को निश्चित समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। आइए इसे नीचे दिए गए व्यंजक से समझते हैं।

यदि $d/dxf(x)=f'(x),$ तब $\int f'(x)dx=f(x)+C$ $\int f'(x)dx=f(x)+C$

यहाँ, $C$ समाकलन का स्थिरांक है, और यहाँ एक उदाहरण दिया गया है कि हमें इसे प्रत्येक अनिश्चित समाकलन के मान के बाद क्यों जोड़ना होगा।

उदाहरण: मान लें कि $f(x)=x^{2}$ है और घात नियम से, $f'(x)=2x$ है। तब $f'(x)$ का समाकलन $x^{2}+C$ है, क्योंकि $x^{2}$ ही नहीं बल्कि $x^{2}+2,x^{2}-1,$ आदि जैसे कार्यों का भी अवकलन करने पर $2x$ प्राप्त होता है। अनिश्चित समाकलन को तकनीकी रूप से नीचे दिखाए अनुसार परिभाषित किया गया है।

उपरोक्त परिभाषा में:

$f(x)$ को समाकलन कहा जाता है
$dx$ का अर्थ है कि समाकलन का चर $x$ है
$F(x)$ अनिश्चित समाकलन का मान है

अर्थात, फलन $f(x)$ का अनिश्चित समाकलन $F(x)+C$ है, जहाँ, $F(x)$ का व्युत्पन्न मूल फलन $f(x)$ है।

अनिश्चित समाकलन की गणना

अनिश्चित समाकलन की गणना करने की प्रक्रिया दिए गए फलन पर निर्भर करती है। विभिन्न प्रकार के फलन के अनिश्चित समाकलन की गणना करने के चरण इस प्रकार हैं:

सरल अनिश्चित समाकलन को सीधे समाकलन सूत्रों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिनका उल्लेख नीचे अनुभाग में किया गया है।
परिमेय फलनों को आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यानी, हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करके समाकलन को विभाजित करते हैं और फिर प्रत्येक भिन्न को अलग-अलग समाकलित करते हैं।
कुछ अनिश्चित समाकलन को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है।
यदि समाकलन एक गुणनफल है, तो इसे भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
एक निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए, पहले उपरोक्त विधियों में से किसी एक का उपयोग करके प्रतिअवकलन का मूल्यांकन करें और फिर सूत्र $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ का उपयोग करके सीमाएँ लागू करें।

उदाहरण

उदाहरण: अनिश्चित समाकलन $\int 3x^{2}sinx^{3}dx$ की गणना करें।

समाधान:

दिए गए समाकलन का मूल्यांकन प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके किया जा सकता है।

मान लें कि $x^{3}=t,$ तो $3x^{2}dx=dt$ ।

तब दिया गया समाकलन $\int sint\ dt$ हो जाता है।

समाकलन के नियमों में से एक का उपयोग करके, इसका मान $-cost+C$ है। $t=x^{3}$ को वापस प्रतिस्थापित करने पर, दिए गए अनिश्चित समाकलन का मान $-cosx^{3}+C$ है।

अनिश्चित समाकलन के महत्वपूर्ण सूत्र

नीचे अनिश्चित समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं। इन सूत्रों और अधिक नियमों के बारे में अधिक जानने के लिए, यहाँ क्लिक करें।

∫ xⁿ dx = x^{n + 1}/ (n + 1) + C
∫ 1 dx = x + C
∫ e^x dx = e^x + C
∫1/x dx = ln |x| + C
∫ a^x dx = a^x / ln a + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = -cos x + C
∫ sec²x dx = tan x + C

अनिश्चित समाकलन के गुणधर्म

अनिश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते समय हमें नीचे दिए गए गुणधर्मों को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।

योग का गुणधर्म : ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
अंतर का गुणधर्म : ∫ [f(x) - g(x)]dx = ∫ f(x)dx - ∫ g(x)dx
स्थिर गुणज का गुणधर्म : ∫ k f(x)dx = k∫ f(x)dx
∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx if ∫ [f(x) - g(x)]dx = 0
∫ [k1f1(x) + k2f2(x) + ...+knfn(x)]dx = k1∫ f1(x)dx + k2∫ f2(x)dx + ... + kn∫ fn(x)dx

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 अनिश्चित समाकलन, किसी फलन का बिना किसी सीमा का समाकलन है। समाकलन, अवकलन की विपरीत/प्रतिलोम प्रक्रिया है और इसे फलन का प्रतिअवकलज कहा जाता है। अनिश्चित समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण भाग है और समाकलन पर सीमित बिंदुओं का अनुप्रयोग इसे [[निश्चित समाकलन]] में बदल देता है। समाकलन को फलन <math>f(x)</math> के लिए परिभाषित किया गया है और यह निर्देशांक अक्षों में से किसी एक के संदर्भ में वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्र को ज्ञात करने में सहायता करता है।
-अनिश्चित समाकल को भागों द्वारा समाकलन, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, आंशिक अंशों का समाकलन और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की विभिन्न विधियों के माध्यम से हल किया जाता है। आइए अनिश्चित समाकल, महत्वपूर्ण सूत्र, और  उदाहरण के बारे में अधिक जानें।
+अनिश्चित समाकलन को भागों द्वारा समाकलन, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, [[आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन|आंशिक भिन्नों का समाकलन]] और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की विभिन्न विधियों के माध्यम से हल किया जाता है। आइए अनिश्चित समाकल, महत्वपूर्ण सूत्र, और  उदाहरण के बारे में अधिक जानें।
 == परिभाषा ==
-अनिश्चित समाकलन, वे समाकलन हैं जिनकी गणना अवकलन की विपरीत प्रक्रिया द्वारा की जा सकती है और उन्हें फलन के प्रतिअवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। किसी फलन <math>f(x)</math> के लिए, यदि व्युत्पन्न को f'(x) द्वारा दर्शाया जाता है, तो परिणामी f'(x) का समाकलन प्रारंभिक फलन f(x) को वापस देता है। समाकलन की इस प्रक्रिया को निश्चित समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। आइए इसे नीचे दिए गए व्यंजक से समझते हैं।
+अनिश्चित समाकलन, वे समाकलन हैं जिनकी गणना अवकलन की विपरीत प्रक्रिया द्वारा की जा सकती है और उन्हें फलन के प्रतिअवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। किसी फलन <math>f(x)</math> के लिए, यदि व्युत्पन्न को <math>f'(x)</math> द्वारा दर्शाया जाता है, तो परिणामी <math>f'(x)</math> का समाकलन प्रारंभिक फलन <math>f(x)</math> को वापस देता है। समाकलन की इस प्रक्रिया को निश्चित समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। आइए इसे नीचे दिए गए व्यंजक से समझते हैं।
-* If d/dx f(x) = f'(x) then ∫ f'(x) dx = f(x) + C
+यदि  <math>d/dx f(x) = f'(x),</math> तब  <math>\int  f'(x) dx = f(x) + C</math><math>\int  f'(x) dx = f(x) + C</math>
-यहाँ, C समाकलन का स्थिरांक है, और यहाँ एक उदाहरण दिया गया है कि हमें इसे प्रत्येक अनिश्चित समाकल के मान के बाद क्यों जोड़ना होगा।
+यहाँ, <math>C</math> समाकलन का स्थिरांक है, और यहाँ एक उदाहरण दिया गया है कि हमें इसे प्रत्येक अनिश्चित समाकलन के मान के बाद क्यों जोड़ना होगा।
+उदाहरण: मान लें कि <math>f(x) = x^2</math> है और घात नियम से, <math>f '(x) = 2x</math> है। तब <math>f'(x)</math> का समाकलन <math>x^2 + C</math> है, क्योंकि <math>x^2</math> ही नहीं बल्कि <math>x^2 + 2, x^2 - 1,</math>आदि जैसे कार्यों का भी अवकलन करने पर <math>2x</math> प्राप्त होता है। अनिश्चित समाकलन को तकनीकी रूप से नीचे दिखाए अनुसार परिभाषित किया गया है।
-उदाहरण: मान लें कि f(x) = x2 है और घात नियम से, f '(x) = 2x है। तब f '(x) का समाकल x2 + C है, क्योंकि x2 ही नहीं बल्कि x2 + 2, x2 - 1, आदि जैसे कार्यों का भी अवकलन करने पर 2x प्राप्त होता है। अनिश्चित समाकल को तकनीकी रूप से नीचे दिखाए अनुसार परिभाषित किया गया है।
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 * <math>f(x)</math> को समाकलन कहा जाता है
-* dx का अर्थ है कि समाकलन का चर x है
+* <math>dx</math> का अर्थ है कि समाकलन का चर <math>x</math> है
-* F(x) अनिश्चित समाकल का मान है
+* <math>F(x)</math> अनिश्चित समाकलन का मान है
-अर्थात, फलन <math>f(x)</math> का अनिश्चित समाकल F(x) + C है, जहाँ, F(x) का व्युत्पन्न मूल फलन <math>f(x)</math> है।
+अर्थात, फलन <math>f(x)</math> का अनिश्चित समाकलन <math>F(x) + C</math> है, जहाँ, <math>F(x)</math> का व्युत्पन्न मूल फलन <math>f(x)</math> है।
-== अनिश्चित समाकल की गणना ==
+== अनिश्चित समाकलन की गणना ==
-अनिश्चित समाकल की गणना करने की प्रक्रिया दिए गए फलन पर निर्भर करती है। विभिन्न प्रकार के फलन के अनिश्चित समाकल की गणना करने के चरण इस प्रकार हैं:
+अनिश्चित समाकलन की गणना करने की प्रक्रिया दिए गए फलन पर निर्भर करती है। विभिन्न प्रकार के फलन के अनिश्चित समाकलन की गणना करने के चरण इस प्रकार हैं:
-सरल अनिश्चित समाकल को सीधे समाकलन सूत्रों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिनका उल्लेख नीचे अनुभाग में किया गया है।
+* सरल अनिश्चित समाकलन को सीधे समाकलन सूत्रों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिनका उल्लेख नीचे अनुभाग में किया गया है।
+* परिमेय फलनों को आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यानी, हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करके समाकलन को विभाजित करते हैं और फिर प्रत्येक भिन्न को अलग-अलग समाकलित करते हैं।
+* कुछ अनिश्चित समाकलन को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है।
+* यदि समाकलन एक गुणनफल है, तो इसे भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
+* एक निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए, पहले उपरोक्त विधियों में से किसी एक का उपयोग करके प्रतिअवकलन का मूल्यांकन करें और फिर सूत्र <math>\int_{a}^{b}  f(x)dx = F(b) - F(a)</math> का उपयोग करके सीमाएँ लागू करें।
-परिमेय फलनों को आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यानी, हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करके समाकलन को विभाजित करते हैं और फिर प्रत्येक भिन्न को अलग-अलग समाकलित करते हैं।
+== उदाहरण ==
+उदाहरण: अनिश्चित समाकलन  <math>\int  3x^2 sin x^3 dx</math> की गणना करें।
-कुछ अनिश्चित समाकल को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है।
+समाधान:
-यदि समाकलन एक गुणनफल है, तो इसे भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
-एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए, पहले उपरोक्त विधियों में से किसी एक का उपयोग करके प्रतिअवकलन का मूल्यांकन करें और फिर सूत्र ∫ab f(x)dx = F(b) - F(a) का उपयोग करके सीमाएँ लागू करें।
+दिए गए समाकलन का मूल्यांकन प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके किया जा सकता है।
-== उदाहरण ==
+मान लें कि <math>x^3 = t,</math> तो <math>3x^2 dx = dt</math>।
-उदाहरण: अनिश्चित समाकल ∫ 3x2 sin x3 dx की गणना करें।
-समाधान:
+तब दिया गया समाकलन <math>\int  sin t\  dt</math> हो जाता है।
-दिए गए समाकल का मूल्यांकन प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके किया जा सकता है। मान लें कि x3 = t, तो 3x2 dx = dt। तब दिया गया समाकल ∫ sin t dt हो जाता है। एकीकरण के नियमों में से एक का उपयोग करके, इसका मान - cos t + C है। t = x3 को वापस प्रतिस्थापित करने पर, दिए गए अनिश्चित समाकल का मान - cos x3 + C है।
+समाकलन के नियमों में से एक का उपयोग करके, इसका मान <math>- cos t + C</math> है।  <math>t = x^3</math> को वापस प्रतिस्थापित करने पर, दिए गए अनिश्चित समाकलन का मान <math>- cos x^3 + C</math> है।
-== अनिश्चित समाकल के महत्वपूर्ण सूत्र ==
+== अनिश्चित समाकलन के महत्वपूर्ण सूत्र ==
-नीचे अनिश्चित समाकल के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं। इन सूत्रों और अधिक नियमों के बारे में अधिक जानने के लिए, यहाँ क्लिक करें।
+नीचे अनिश्चित समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं। इन सूत्रों और अधिक नियमों के बारे में अधिक जानने के लिए, यहाँ क्लिक करें।
 * ∫ x<sup>n</sup> dx = x<sup>n + 1</sup>/ (n + 1) + C
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 * ∫ sec<sup>2</sup>x dx = tan x + C
-== अनिश्चित समाकल के गुण ==
+== अनिश्चित समाकलन के गुणधर्म ==
-अनिश्चित समाकल का मूल्यांकन करते समय हमें नीचे दिए गए गुणों को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।
+अनिश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते समय हमें नीचे दिए गए गुणधर्मों को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।
-* '''Property of Sum''': ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
+* '''योग का  गुणधर्म''' : ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
-* '''Property of Difference:''' ∫ [f(x) - g(x)]dx = ∫ f(x)dx - ∫ g(x)dx
+* '''अंतर का गुणधर्म''' ''':''' ∫ [f(x) - g(x)]dx = ∫ f(x)dx - ∫ g(x)dx
-* '''Property of Constant Multiple:''' ∫ k f(x)dx = k∫ f(x)dx
+* '''स्थिर गुणज का गुणधर्म :''' ∫ k f(x)dx = k∫ f(x)dx
 * ∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx if ∫ [f(x) - g(x)]dx = 0
 * ∫ [k1f1(x) + k2f2(x) + ...+knfn(x)]dx = k1∫ f1(x)dx + k2∫ f2(x)dx + ... + kn∫ fn(x)dx