अवकल समीकरण

एक समीकरण जिसमें किसी अज्ञात फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है, उसे अंतर समीकरण कहा जाता है। किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर फ़ंक्शन के व्युत्पन्नों द्वारा परिभाषित की जाती है। एक अंतर समीकरण इन व्युत्पन्नों को अन्य फ़ंक्शनों से जोड़ता है। अंतर समीकरणों का उपयोग मुख्य रूप से जीव विज्ञान, भौतिकी, इंजीनियरिंग और कई क्षेत्रों में किया जाता है। अंतर समीकरण का मुख्य उद्देश्य उन समाधानों का अध्ययन करना है जो समीकरणों और समाधानों के गुणों को संतुष्ट करते हैं। आइए परिभाषा, प्रकार, अंतर समीकरण को हल करने के तरीके, अंतर समीकरण के क्रम और डिग्री, अंतर समीकरणों के प्रकार, वास्तविक दुनिया के उदाहरणों और अभ्यास समस्याओं के साथ चर्चा करें।

परिभाषा

अंतर समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें किसी अज्ञात फ़ंक्शन का कम से कम एक व्युत्पन्न होता है, या तो एक साधारण व्युत्पन्न या आंशिक व्युत्पन्न। मान लीजिए कि x के संबंध में फ़ंक्शन y के परिवर्तन की दर y के व्युत्क्रमानुपाती है, हम इसे dy/dx = k/y के रूप में व्यक्त करते हैं।

कलन में, एक अंतर समीकरण एक समीकरण है जिसमें स्वतंत्र चर (चर) के संबंध में आश्रित चर के व्युत्पन्न (व्युत्पन्न) शामिल होते हैं। व्युत्पन्न परिवर्तन की दर के अलावा कुछ भी नहीं दर्शाता है, और अंतर समीकरण हमें किसी अन्य मात्रा में परिवर्तन के संबंध में बदलती मात्रा के बीच संबंध प्रस्तुत करने में मदद करता है। y=f(x) एक फ़ंक्शन हो जहाँ y एक आश्रित चर है, f एक अज्ञात फ़ंक्शन है, x एक स्वतंत्र चर है। यहाँ कुछ अंतर समीकरण दिए गए हैं।

• (dy/dx) = sin x
• (d²y/dx²) + k²y = 0
• (d²y/dt²) + (d²x/dt²) = x
• (d³y/dx³) + x(dy/dx) - 4xy = 0
• (rdr/dθ) + cosθ = 5

अंतर समीकरणों का क्रम

किसी अंतर समीकरण का क्रम समीकरण में आने वाले व्युत्पन्न का उच्चतम क्रम होता है। निम्नलिखित अंतर समीकरणों पर विचार करें,

dy/dx = e^x, (d⁴y/dx⁴) + y = 0, (d³y/dx³) + x²(d²y/dx²) = 0

उपरोक्त अंतर समीकरण उदाहरणों में, उच्चतम व्युत्पन्न क्रमशः प्रथम, चतुर्थ और तृतीय क्रम के हैं।

प्रथम क्रम विभेदक समीकरण

आप पहले उदाहरण में देख सकते हैं, यह प्रथम क्रम विभेदक समीकरण है जिसकी डिग्री 1 के बराबर है। व्युत्पन्न के रूप में सभी रैखिक समीकरण प्रथम क्रम में हैं। इसमें केवल प्रथम व्युत्पन्न है जैसे dy/dx, जहाँ x और y दो चर हैं और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: dy/dx = f(x, y) = y’

द्वितीय-क्रम विभेदक समीकरण

वह समीकरण जिसमें द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न शामिल है, द्वितीय-क्रम विभेदक समीकरण है। इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है; d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f”(x) = y”.

विभेदक समीकरणों की डिग्री

यदि कोई विभेदक समीकरण बहुपद रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो उच्चतम क्रम व्युत्पन्न की अभिन्न शक्ति जो प्रकट होती है उसे विभेदक समीकरण की डिग्री कहा जाता है। विभेदक समीकरण की डिग्री समीकरण में मौजूद उच्चतम क्रम व्युत्पन्न की शक्ति है। विभेदक समीकरण की डिग्री ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक व्युत्पन्न के सूचकांक के रूप में एक सकारात्मक पूर्णांक की आवश्यकता होती है। उदाहरण:

(dydx4)3+4(dydx)7+6y=5cos3x

यहाँ अंतर समीकरण का क्रम 4 है और घात 3 है।

नोट: यदि कोई अंतर समीकरण किसी बहुपद समीकरण के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जिसमें अग्रणी पद के रूप में उच्चतम क्रम व्युत्पन्न हो, तो अंतर समीकरण की वह घात परिभाषित नहीं होती है।

विभेदक समीकरणों के प्रकार

विभेदक समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया जाता है:

• साधारण विभेदक समीकरण
• आंशिक विभेदक समीकरण

उदाहरण

Example Find the differential equation of all the straight lines touching the circle x² + y² = r².

Solution: Let y = mx + c be the equation of all the straight lines touching the circle.

Given : The equation of the circle is x² + y² = r²----------> (1)

The tangent to the circle is c² = r²(1+m²)

c = r√(1+m²)

we know that y = mx + c---------->(2)

y = mx + r√(1+m²) ---------->(3)

y - mx = r√(1+m²)

Differentiating wrt x we get dy/dx -m =0

dy/dx = m

Substituting this in equation (3)

y - (dy/dx . x) = r√(1+(dy/dx)²)

Squaring on both sides, we get

y² - (dy/dx . x)² = [ r√(1+(dy/dx)²)]²

[y - x(dy/dx)]² = r² (1+(dy/dx))² is the required differential equation.

Answer: The differential equation of all the straight lines touching the circle x² + y² = r² is [y - x(dy/dx)]² = r² (1+(dy/dx))²

अंतर समीकरणों के अनुप्रयोग

वास्तविक जीवन में सामान्य अंतर समीकरणों के अनुप्रयोगों का उपयोग बिजली की गति या प्रवाह, पेंडुलम की तरह किसी वस्तु की आगे-पीछे गति, ऊष्मागतिकी अवधारणाओं को समझाने के लिए किया जाता है। साथ ही, चिकित्सा की दृष्टि से, इनका उपयोग ग्राफिकल प्रतिनिधित्व में रोगों की वृद्धि की जाँच करने के लिए किया जाता है। अंतर समीकरण जनसंख्या वृद्धि या रेडियोधर्मी क्षय से जुड़े गणितीय मॉडल का वर्णन करने में उपयोगी होते हैं।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• हम व्युत्पन्नों के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग कर सकते हैं। (dy/dx) = y', (d2y/dx2) = y'', (d3y/dx3) = y'''
• अंतर समीकरण का क्रम और घात हमेशा धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।