एक अदिश से सदिश का गुणन

सदिश गुणन नियम गणित में सबसे आसान और सबसे दिलचस्प अवधारणाओं में से एक है। सदिश गुणन किसी भी दो सदिशों का गुणनफल या तो अदिश के रूप में या सदिश के रूप में ज्ञात करना है। सदिशों का गुणन दो रूपों में किया जा सकता है, अर्थात् डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद। यदि किसी सदिश को अदिश से गुणा किया जाता है, तो इसका अर्थ है कि सदिश के परिमाण को किसी संख्या से गुणा किया जाता है।

एक अदिश से सदिश का गुणन

हालाँकि सदिश और अदिश राशियाँ विभिन्न प्रकार की भौतिक राशियों का प्रतिनिधित्व करती हैं, लेकिन कभी-कभी दोनों का आपस में मिलना-जुलना ज़रूरी हो जाता है। सदिश राशि में अदिश राशि का योग करना उनके आयामों में अंतर के कारण बहुत ही असंभव है। हालाँकि, सदिश राशि को अदिश राशि से गुणा किया जा सकता है। वहीं, इसका विपरीत संभव नहीं है। यानी अदिश राशि को कभी भी सदिश राशि से गुणा नहीं किया जा सकता।

सदिशों को अदिश राशियों से गुणा करने के दौरान, समान राशियों को अंकगणितीय गुणन के अधीन किया जाता है। अर्थात सदिशों के परिमाण को अदिश राशियों के परिमाण से गुणा किया जाता है। सदिशों को अदिश राशियों से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल एक सदिश होता है। गुणनफल सदिश की दिशा उस सदिश के समान होती है जिसे अदिश राशि से गुणा किया जाता है और इसका परिमाण सदिश और अदिश राशियों के गुणनफल से गुणा किए गए परिमाण के गुणनफल के बराबर बढ़ता है।

एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जा सकता है। लेकिन, एक अदिश राशि को एक सदिश से गुणा नहीं किया जा सकता।

जब एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल एक सदिश होता है जिसकी दिशा समान होती है लेकिन परिमाण बढ़ा हुआ होता है

उदाहरण

स्केलर वेक्टर गुणन

उदाहरण 1

एक निश्चित वेक्टर पर विचार करें, मान लें कि वेक्टर ‘a’ को एक स्केलर से गुणा किया जाता है जिसका परिमाण 0.25 है। इस मामले में, उत्पाद वेक्टर एक वेक्टर है जो एक वेक्टर को दर्शाता है जिसकी दिशा वेक्टर ‘a’ के समान है और परिमाण वेक्टर ‘a’ के ¼ गुना के बराबर है (क्योंकि 0.25 ¼ को दर्शाता है)।

उदाहरण 2

भौतिक राशि बल एक सदिश राशि है। किया गया कार्य परिमाण और दिशा दोनों पर निर्भर करता है जिसमें बल वस्तु पर लगाया जाता है। यह बल वास्तव में न्यूटन के रैखिक गति के दूसरे नियम के अनुसार एक सदिश और एक अदिश राशि का गुणनफल है। बल इस प्रकार दिया गया है: F = m x aउपर्युक्त समीकरण में, 'a' त्वरण को दर्शाता है जो एक सदिश राशि है और 'm' वस्तु के द्रव्यमान को दर्शाता है जो अदिश राशि है। इसलिए, यह भौतिकी में सदिशों को अदिश राशि से गुणा करने के उदाहरणों में से एक है।

उदाहरण 3

मान लीजिए कि कोई भी अंकगणितीय संख्या जो पूरी तरह से इकाई रहित है, उसे अदिश राशि के रूप में लिया जाता है। इस अदिश राशि से सदिशों को गुणा करने पर, प्राप्त गुणनफल प्रारंभिक सदिश का एक स्केल किया हुआ संस्करण होता है। मान लीजिए कि अदिश राशि मानी जाने वाली संख्या 3 है, तो इस अदिश राशि से सदिश को गुणा करने पर गुणनफल सदिश प्राप्त होता है जो प्रारंभिक सदिश के तीन गुना के बराबर होता है।

स्केलर के साथ सदिशों के गुणन के व्यावहारिक अनुप्रयोग

सदिशों के स्केलर के साथ गुणन के भौतिकी में कई तरह के अनुप्रयोग पाए जाते हैं। सदिश राशियों की कई SI इकाइयाँ सदिश और स्केलर के गुणनफल हैं। उदाहरण के लिए, वेग की SI इकाई मीटर प्रति सेकंड है। वेग एक सदिश राशि है। यह दो अदिश राशियों: लंबाई और समय को एक विशिष्ट दिशा में एक इकाई सदिश के साथ गुणा करके प्राप्त किया जाता है। गणित और भौतिकी में ऐसे कई अन्य उदाहरण हैं जहाँ स्केलर के साथ सदिश गुणन का उपयोग किया जाता है।

स्केलर गुणन और सदिश गुणन

किसी संख्या का स्केलर गुणन एक सदिश का स्केलर से गुणन है और इसे दो सदिशों के आंतरिक गुणनफल से अलग किया जाना चाहिए।

गणित में, सदिश गुणन एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग दो या अधिक सदिशों को गुणा करने के लिए किया जाता है। इसे पहले सदिश और दूसरे सदिश के गुणनफल के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। सदिशों के गुणन के दो प्रकार हैं। एक है स्केलर गुणन जिसे डॉट उत्पाद भी कहा जाता है और दूसरा है सदिश गुणन जिसे क्रॉस उत्पाद कहा जाता है।