दिक्-कोसाइन: Difference between revisions

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दिशा कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष, z-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिशा कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक वेक्टर या एक सीधी रेखा के लिए की जा सकती है। यह तीन अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।

आइए दिशा कोसाइन, दिशा कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिशा कोसाइन के बारे में अधिक जानें।

दिक्-कोसाइन

दिशा कोसाइन क्या है?

दिशा कोसाइन तीन आयामी अंतरिक्ष में एक वेक्टर या रेखा का संबंध तीन अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिशा कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण α, β और γ हैं, तो दिशा कोसाइन क्रमशः Cosα, Cosβ, Cosγ हैं।

एक सदिश के लिए दिशा कोसाइन

→A=a^i+b^j+c ^k is Cosα = a√a2+b2+c2, Cosβ = b√a2+b2+c2, Cosγ = c√a2+b2+c2.

दिशा कोसाइन को l, m, n द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम अक्सर दिशा कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं l = a√a2+b2+c2, m = b√a2+b2+c2, n = c√a2+b2+c2. त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु A (a, b, c) के लिए दिशा कोसाइन इस बिंदु को मूल O से जोड़ने वाली रेखा की दिशा कोसाइन है। रेखा OA की दिशा कोसाइन है l = a√a2+b2+c2, m = b√a2+b2+c2, n = c√a2+b2+c2.

दिशा कोसाइन के बीच संबंध

बिंदु (a, b, c) को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखा की दिशा कोसाइन क्रमशः Cosα, Cosβ, Cosγ है, और मूल बिंदु से इस बिंदु की दूरी r है। यहाँ इन दिशा कोसाइन के मान Cosα = a/r, Cosβ=b/r, Cosγ=c/r. हैं दूरी r का मान √a2+b2+c2 है

यहाँ हमारा उद्देश्य इस बिंदु की दिशा कोसाइन के बीच संबंध ज्ञात करना है। आइए हम बिंदु की दिशा कोसाइन का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें।

Cos²α + Cos²β + Cos²γ = a²/r² + b²/r² + c²/r²

Cos²α + Cos²β + Cos²γ = (a² + b² + c²)/r²

लेकिन हमारे पास r2 = a2+b2+c2 है। इसे उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।

Cos²α + Cos²β + Cos²γ = r²/r²

Cos²α + Cos²β + Cos²γ = 1

आइए अब हम l = Cosα, m = Cosβ, n = Cosγ पर विचार करें। इसलिए हमारे पास दिशा कोसाइन के बीच संबंध l2 + m2 + n2 = 1 है।

त्रि-आयामी ज्यामिति में दिशा कोसाइन

दो बिंदुओं (x1,y1,z1) और (x2,y2,z2) को मिलाने वाली रेखा की दिशा कोसाइन की गणना इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं के दिशा अनुपातों का उपयोग करके और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करके आसानी से की जा सकती है। इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का दिशा अनुपात x2−x1, y2−y1, z2−z1 है। और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 है।

किसी रेखा की दिशा कोसाइन की गणना दो बिंदुओं के बीच की दूरी के साथ संबंधित दिशा अनुपातों को विभाजित करके की जाती है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लिए दिशा कोसाइन का सूत्र इस प्रकार है।

Direction Cosines =

(x2−x1√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,y2−y1√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,z2−z1√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2)

उदाहरण

उदाहरण : बिंदु (-4, 2, 3) को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिशा कोसाइन ज्ञात करें।

समाधान:

मूल बिंदु (0, 0, 0) और बिंदु (-4, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा के लिए दिशा अनुपात -4, 2, 3 हैं।

रेखा का परिमाण =√(−4)2+22+32)=√29

इसलिए दिशा कोसाइन (-4/√29, 2/√29, 3/√29) हैं।

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-Direction cosines
+दिशा कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष, z-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिशा कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक वेक्टर या एक सीधी रेखा के लिए की जा सकती है। यह तीन अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।
+आइए दिशा कोसाइन, दिशा कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिशा कोसाइन के बारे में अधिक जानें।
+[[File:दिक्-कोसाइन.jpg|thumb|दिक्-कोसाइन]]
+दिशा कोसाइन क्या है?
+दिशा कोसाइन तीन आयामी अंतरिक्ष में एक वेक्टर या रेखा का संबंध तीन अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिशा कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण α, β और γ हैं, तो दिशा कोसाइन क्रमशः Cosα, Cosβ, Cosγ हैं।
+एक सदिश के लिए दिशा कोसाइन
+→A=a^i+b^j+c ^k is Cosα = a√a2+b2+c2, Cosβ = b√a2+b2+c2, Cosγ = c√a2+b2+c2.
+दिशा कोसाइन को l, m, n द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम अक्सर दिशा कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं l =
+a√a2+b2+c2, m = b√a2+b2+c2, n = c√a2+b2+c2.
+त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु A (a, b, c) के लिए दिशा कोसाइन इस बिंदु को मूल O से जोड़ने वाली रेखा की दिशा कोसाइन है। रेखा OA की दिशा कोसाइन है  l = a√a2+b2+c2, m = b√a2+b2+c2, n = c√a2+b2+c2.
+== दिशा कोसाइन के बीच संबंध ==
+बिंदु (a, b, c) को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखा की दिशा कोसाइन क्रमशः Cosα, Cosβ, Cosγ है, और मूल बिंदु से इस बिंदु की दूरी r है। यहाँ इन दिशा कोसाइन के मान Cosα = a/r, Cosβ=b/r, Cosγ=c/r.  हैं  दूरी r का मान √a2+b2+c2 है
+यहाँ हमारा उद्देश्य इस बिंदु की दिशा कोसाइन के बीच संबंध ज्ञात करना है। आइए हम बिंदु की दिशा कोसाइन का वर्ग करें और उन्हें जोड़ें।
+Cos<sup>2</sup>α + Cos<sup>2</sup>β + Cos<sup>2</sup>γ = a<sup>2</sup>/r<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>/r<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>/r<sup>2</sup>
+Cos<sup>2</sup>α + Cos<sup>2</sup>β + Cos<sup>2</sup>γ = (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>)/r<sup>2</sup>
+लेकिन हमारे पास r2 = a2+b2+c2 है। इसे उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह प्राप्त होता है।
+Cos<sup>2</sup>α + Cos<sup>2</sup>β + Cos<sup>2</sup>γ = r<sup>2</sup>/r<sup>2</sup>
+Cos<sup>2</sup>α + Cos<sup>2</sup>β + Cos<sup>2</sup>γ = 1
+आइए अब हम l = Cosα, m = Cosβ, n = Cosγ पर विचार करें। इसलिए हमारे पास दिशा कोसाइन के बीच संबंध l2 + m2 + n2 = 1 है।
+== त्रि-आयामी ज्यामिति में दिशा कोसाइन ==
+दो बिंदुओं (x1,y1,z1) और (x2,y2,z2) को मिलाने वाली रेखा की दिशा कोसाइन की गणना इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं के दिशा अनुपातों का उपयोग करके और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करके आसानी से की जा सकती है। इन दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का दिशा अनुपात x2−x1, y2−y1, z2−z1 है। और इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 है।
+किसी रेखा की दिशा कोसाइन की गणना दो बिंदुओं के बीच की दूरी के साथ संबंधित दिशा अनुपातों को विभाजित करके की जाती है। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लिए दिशा कोसाइन का सूत्र इस प्रकार है।
+Direction Cosines =
+(x2−x1√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,y2−y1√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,z2−z1√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2)
+== उदाहरण ==
+उदाहरण : बिंदु (-4, 2, 3) को मूल बिंदु से मिलाने वाली रेखा की दिशा कोसाइन ज्ञात करें।
+समाधान:
+मूल बिंदु (0, 0, 0) और बिंदु (-4, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा के लिए दिशा अनुपात -4, 2, 3 हैं।
+रेखा का परिमाण =√(−4)2+22+32)=√29
+इसलिए दिशा कोसाइन (-4/√29, 2/√29, 3/√29) हैं।
+इसलिए दिशा कोसाइन (-4/√29, 2/√29, 3/√29) हैं।
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
 [[Category:सदिश बीजगणित]]