दो रेखाओं का सह-तलीय होना

ज्यामिति में दो शब्द हैं जो "co" से शुरू होते हैं और एक जैसे और भ्रमित करने वाले लगते हैं। वे कॉलिनियर और कॉपलनर हैं। इनमें से प्रत्येक शब्द में, "co" का अर्थ है एक साथ, "रैखिक" का अर्थ है एक रेखा पर स्थित होना, और "प्लानर" का अर्थ है एक समतल पर स्थित होना। इस प्रकार, कॉलिनियर का अर्थ है कि एक साथ एक रेखा पर स्थित होना और कॉपलनर का अर्थ है कि एक साथ एक समतल पर स्थित होना।

आइए इस लेख में कुछ उदाहरणों के साथ कॉपलनर बिंदुओं और कॉपलनर रेखाओं के बारे में अधिक जानें। साथ ही, आइए देखें कि निर्देशांक ज्यामिति में दिए गए बिंदुओं और दी गई रेखाओं के कॉपलनर होने का निर्धारण कैसे किया जाता है।

सहसमतलीय का अर्थ क्या है?

"सहसमतलीय" शब्द का अर्थ है "एक ही तल पर स्थित होना"। तो जाहिर है, "गैरसमतलीय" का अर्थ है "एक ही तल पर स्थित न होना"। ज्यामिति में, हम सहसमतलीयता के संबंध में दो चीजों का अध्ययन करते हैं:

• समतलीय बिंदु
• समतलीय रेखाएँ

समतलीय और गैर समतलीय बिंदु

जो बिंदु एक ही तल पर स्थित होते हैं उन्हें समतलीय बिंदु कहते हैं और इसलिए जो बिंदु एक ही तल पर नहीं होते हैं उन्हें गैर समतलीय बिंदु कहते हैं। हम जानते हैं कि 2D में दो बिंदु हमेशा एक रेखा से होकर गुजर सकते हैं और इसलिए कोई भी दो बिंदु संरेखीय होते हैं। उसी तरह, 3D में तीन बिंदु हमेशा एक तल से होकर गुजर सकते हैं और इसलिए कोई भी 3 बिंदु हमेशा समतलीय होते हैं। लेकिन 3D में चार या उससे ज़्यादा बिंदु समतलीय नहीं हो सकते हैं। इसलिए हम समतलीय बिंदुओं और गैर समतलीय बिंदुओं को निम्न उदाहरण के अनुसार परिभाषित करते हैं:

समतलीय और गैर समतलीय रेखाएँ

दो या दो से अधिक रेखाएँ समतलीय कहलाती हैं यदि वे एक ही तल पर स्थित हों, और वे रेखाएँ जो एक ही तल पर स्थित न हों, उन्हें गैर-समतलीय रेखाएँ कहते हैं। निम्नलिखित आयताकार प्रिज्म पर विचार करें।

ज्यामिति में सहसमतलीय रेखाएँ

ऊपर दिए गए आयताकार प्रिज्म में, यहाँ कुछ सहसमतलीय रेखाएँ हैं:

• AD और DH क्योंकि वे प्रिज्म के बाएँ पक्ष के चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
• AB और CD क्योंकि वे प्रिज्म के निचले चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।
• BC और FG क्योंकि वे प्रिज्म के दाएँ पक्ष के चेहरे पर स्थित हैं (यानी, एक ही तल पर)।

यह कैसे निर्धारित करें कि दी गई 2 रेखाएँ समतलीय हैं या नहीं?

दो रेखाएँ समतलीय तब कहलाती हैं जब वे एक ही तल में मौजूद हों। यहाँ दो रेखाओं के सदिश रूप और कार्तीय रूप दोनों में समतलीय होने की शर्तें दी गई हैं।

Condition For Coplanarity of Lines in Vector Form

If the vector equations of two lines are of the form →r = →a + k →p and →r = →b + k →q then they are coplanar if and only if (→b−→a)⋅(→p×→q) = 0.

Condition For Coplanarity of Lines in Cartesian Form

If the cartesian equations of two lines are of the form x−x1a1=y−y1b1=z−z1c1 and x−x2a2=y−y2b2=z−z2c2 then the lines are coplanar if and only if the determinant ∣∣ ∣∣x2−x1y2−y1z2−z1a1b1c1a2b2c2∣∣ ∣∣ = 0.

समतलीय पर महत्वपूर्ण नोट्स

• कोई भी दो बिंदु हमेशा समतलीय होते हैं।
• कोई भी तीन बिंदु हमेशा समतलीय होते हैं।
• चार या उससे अधिक बिंदु समतलीय होते हैं, यदि वे सभी एक ही तल पर मौजूद हों।
• दो या उससे अधिक रेखाएँ समतलीय होती हैं, यदि वे सभी एक ही तल पर मौजूद हों।