दो रेखाओं के मध्य न्यूनतम दूरी: Difference between revisions

Revision as of 08:13, 18 December 2024

दो रेखाओं के बीच की दूरी का मतलब है कि दो रेखाएँ एक दूसरे से कितनी दूर स्थित हैं। एक रेखा एक आकृति है जो तब बनती है जब दो बिंदु उनके बीच न्यूनतम दूरी पर जुड़े होते हैं, और एक रेखा के दोनों छोर अनंत तक विस्तारित होते हैं। दो रेखाओं के बीच की दूरी की गणना उनके बीच लंबवत दूरी को मापकर की जा सकती है। साधारणतः, हम दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी पाते हैं।

परिभाषा

साथ ही, दो गैर-प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए जो एक ही तल में स्थित हैं, उनके बीच की न्यूनतम दूरी वह दूरी है जो दोनों रेखाओं पर स्थित दो बिंदुओं के बीच की सभी दूरियों में से न्यूनतम है। आइए कुछ हल किए गए उदाहरणों के साथ दो रेखाओं के बीच की दूरी के बारे में अधिक जानें।

दो रेखाओं के बीच की दूरी को दो बिंदुओं के संदर्भ में मापा जाता है जो प्रत्येक रेखा पर स्थित होते हैं। एक समतल में, दो सीधी रेखाओं के बीच की दूरी रेखाओं पर स्थित किसी भी दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी होती है। दो रेखाओं के बीच की दूरी के लिए, हम प्रायः रेखाओं के विभिन्न समुच्चयों जैसे कि समानांतर रेखाएँ, प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ या विषम रेखाएँ से निपटते हैं। इसलिए, दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक रेखा पर किसी भी बिंदु से दूसरी रेखा तक की लंबवत दूरी होती है। दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए, ऐसी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी अंततः शून्य हो जाती है और दो विषम रेखाओं के बीच की दूरी रेखाओं के बीच लंबवत की लंबाई के बराबर होती है।

दो रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करने की विधि

जाँचें कि समानांतर रेखाओं के दिए गए समीकरण ढलान-अवरोधन रूप में हैं (यानी $y=mx+c$ ) या नहीं।
साथ ही, यदि रेखाओं के समीकरण ढलान-अवरोधन रूप में दिए गए हैं, तो ढलान का मान दोनों रेखाओं के लिए समान होना चाहिए।
अब अवरोधन बिंदु ( $c_{1}$ और $c_{2}$ ) का मान ज्ञात करें और दोनों रेखाओं के लिए ढलान का मान ज्ञात करें।
$y$ के मान की गणना करने के लिए ढलान-अवरोधन समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करें।
अंत में, दो रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए नीचे चर्चा किए गए दूरी सूत्र में सभी मान डालें।

दो रेखाओं के बीच की दूरी का सूत्र

दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी का सूत्र नीचे दिया गया है:

यदि हमारे पास दो रेखाओं का ढलान-अवरोधन रूप $y=mx+c_{1}$ और $y=mx+c_{2}$ है, तो दूरी का सूत्र है:

$d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}$

यहाँ, $c_{1}$ रेखा $l_{1}$ का स्थिरांक है और $c_{2}$ रेखा $l_{2}$ का स्थिरांक है। साथ ही, $m$ रेखा के ढलान को दर्शाता है।

यदि समांतर रेखाओं के समीकरण $ax+by+c_{1}=0$ और $ax+by+c_{2}=0$ में दिए गए हैं, तो दूरी का सूत्र है:

$d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

दो विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी

विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी की गणना करने का सूत्र ज्ञात करने से पहले, आइए याद करें कि विषम रेखाएँ क्या होती हैं। विषम रेखाएँ बहुआयामी प्रणाली में उपस्थित होती हैं, जहाँ दो रेखाएँ गैर-समानांतर होती हैं लेकिन कभी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं। यह केवल 3-आयामों या उससे अधिक में ही संभव है।

आइए दो विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी की गणना करने का सूत्र देखें जिनके समीकरण हैं

${\overrightarrow {r_{1}}}={\overrightarrow {a_{1}}}+t{\overrightarrow {b_{1}}}$ और ${\overrightarrow {r_{2}}}={\overrightarrow {a_{2}}}+t{\overrightarrow {b_{2}}}$ , है:

$d=|{\frac {({\overrightarrow {a_{2}}}-{\overrightarrow {a_{1}}})\cdot ({\overrightarrow {b_{1}}}\times {\overrightarrow {b_{2}}})}{({\overrightarrow {b_{1}}}\times {\overrightarrow {b_{2}}})}}|$

दो विषम रेखाओं के बीच की दूरी, यदि रेखाओं का समीकरण कार्टेशियन रूप में निम्नानुसार

$(x-x_{1})/a1=(y-y_{1})/b_{1}=(z-z_{1})/c1$

$(x-x_{2})/a_{2}=(y-y_{2})/b_{2}=(z-z_{2})/c_{2},$ दिया गया है

$d={\frac {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}{[(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})^{2}+(c_{1}a_{2}-a_{2}c_{1})^{2}+(a_{1}b_{2}-b_{2}a_{1})^{2}]^{1/2}}}$

उदाहरण

उदाहरण दो विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी निर्धारित करें, यदि रेखाओं के समीकरण ${\overrightarrow {r_{1}}}={\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}+\lambda (2{\overrightarrow {i}}-{\overrightarrow {j}}+{\overrightarrow {k}})$ और ${\overrightarrow {r_{2}}}=2{\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}-{\overrightarrow {k}}+\mu (3{\overrightarrow {i}}-5{\overrightarrow {j}}+2{\overrightarrow {k}})$ हैं।

समाधान:

ज्ञात करें: दो रेखाओं के बीच की दूरी

एक रेखा के समीकरण के मानक रूप, यानी ${\overrightarrow {r_{1}}}={\overrightarrow {a_{1}}}+t{\overrightarrow {b_{1}}}$ और ${\overrightarrow {r_{2}}}={\overrightarrow {a_{2}}}+t{\overrightarrow {b_{2}}}$ से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$a_{1}={\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}},a_{2}=2{\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}-{\overrightarrow {k}}$

$b_{1}=2{\overrightarrow {i}}-{\overrightarrow {j}}+{\overrightarrow {k}},b_{2}=3{\overrightarrow {i}}-5{\overrightarrow {j}}+2{\overrightarrow {k}}$

अब, दो विषम रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए सूत्र में मान डालने पर, हमें यह प्राप्त होता है:

$d=|[(2{\overrightarrow {i}}-{\overrightarrow {j}}+{\overrightarrow {k}})\times (3{\overrightarrow {i}}-5{\overrightarrow {j}}+2{\overrightarrow {k}})]\cdot ({\overrightarrow {i}}-{\overrightarrow {k}})|/|(2{\overrightarrow {i}}-{\overrightarrow {j}}+{\overrightarrow {k}})\times (3{\overrightarrow {i}}-5{\overrightarrow {j}}+2{\overrightarrow {k}})|$

हल करने पर हमें मिलता है:

$=|3-0+7|/(59)^{1/2}$

$=10/(59)^{1/2}=10/7.68$

$=1.30$ एकांक /इकाइयाँ

@@ Line 1: / Line 1: @@
-दो रेखाओं के बीच की दूरी का मतलब है कि दो रेखाएँ एक दूसरे से कितनी दूर स्थित हैं। एक रेखा एक आकृति है जो तब बनती है जब दो बिंदु उनके बीच न्यूनतम दूरी पर जुड़े होते हैं, और एक रेखा के दोनों छोर अनंत तक विस्तारित होते हैं। दो रेखाओं के बीच की दूरी की गणना उनके बीच लंबवत दूरी को मापकर की जा सकती है। आम तौर पर, हम दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी पाते हैं।
+दो रेखाओं के बीच की दूरी का मतलब है कि दो रेखाएँ एक दूसरे से कितनी दूर स्थित हैं। एक रेखा एक आकृति है जो तब बनती है जब दो बिंदु उनके बीच न्यूनतम दूरी पर जुड़े होते हैं, और एक रेखा के दोनों छोर अनंत तक विस्तारित होते हैं। दो रेखाओं के बीच की दूरी की गणना उनके बीच लंबवत दूरी को मापकर की जा सकती है। साधारणतः, हम दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी पाते हैं।
-साथ ही, दो गैर-प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए जो एक ही तल में स्थित हैं, उनके बीच की सबसे छोटी दूरी वह दूरी है जो दोनों रेखाओं पर स्थित दो बिंदुओं के बीच की सभी दूरियों में से सबसे छोटी है। आइए कुछ हल किए गए उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ दो रेखाओं के बीच की दूरी के बारे में अधिक जानें।
+== परिभाषा ==
+साथ ही, दो गैर-प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए जो एक ही तल में स्थित हैं, उनके बीच की न्यूनतम  दूरी वह दूरी है जो दोनों रेखाओं पर स्थित दो बिंदुओं के बीच की सभी दूरियों में से न्यूनतम  है। आइए कुछ हल किए गए उदाहरणों  के साथ दो रेखाओं के बीच की दूरी के बारे में अधिक जानें।
-दो रेखाओं के बीच की दूरी को दो बिंदुओं के संदर्भ में मापा जाता है जो प्रत्येक रेखा पर स्थित होते हैं। एक समतल में, दो सीधी रेखाओं के बीच की दूरी रेखाओं पर स्थित किसी भी दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी होती है। दो रेखाओं के बीच की दूरी के लिए, हम अक्सर रेखाओं के विभिन्न सेटों जैसे कि समानांतर रेखाएँ, प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ या तिरछी रेखाएँ से निपटते हैं। इसलिए, दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक रेखा पर किसी भी बिंदु से दूसरी रेखा तक की लंबवत दूरी होती है। दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए, ऐसी रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी अंततः शून्य हो जाती है और दो तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी रेखाओं के बीच लंबवत की लंबाई के बराबर होती है।
+दो रेखाओं के बीच की दूरी को दो बिंदुओं के संदर्भ में मापा जाता है जो प्रत्येक रेखा पर स्थित होते हैं। एक समतल में, दो सीधी रेखाओं के बीच की दूरी रेखाओं पर स्थित किसी भी दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी होती है। दो रेखाओं के बीच की दूरी के लिए, हम प्रायः रेखाओं के विभिन्न समुच्चयों  जैसे कि समानांतर रेखाएँ, प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ या विषम रेखाएँ से निपटते हैं। इसलिए, दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक रेखा पर किसी भी बिंदु से दूसरी रेखा तक की लंबवत दूरी होती है। दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए, ऐसी रेखाओं के बीच की न्यूनतम  दूरी अंततः शून्य हो जाती है और दो विषम रेखाओं के बीच की दूरी रेखाओं के बीच लंबवत की लंबाई के बराबर होती है।
-== दो रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करने के चरण ==
+== दो रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करने की विधि ==
-* जाँचें कि समानांतर रेखाओं के दिए गए समीकरण ढलान-अवरोधन रूप में हैं (यानी y= mx + c) या नहीं।
+* जाँचें कि समानांतर रेखाओं के दिए गए समीकरण ढलान-अवरोधन रूप में हैं (यानी <math>y= mx + c</math>) या नहीं।
 * साथ ही, यदि रेखाओं के समीकरण ढलान-अवरोधन रूप में दिए गए हैं, तो ढलान का मान दोनों रेखाओं के लिए समान होना चाहिए।
-* अब अवरोधन बिंदु (c1 और c2) का मान ज्ञात करें और दोनों रेखाओं के लिए ढलान का मान ज्ञात करें।
+* अब अवरोधन बिंदु (<math>c_1</math> और <math>c_2</math>) का मान ज्ञात करें और दोनों रेखाओं के लिए ढलान का मान ज्ञात करें।
-* y के मान की गणना करने के लिए ढलान-अवरोधन समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करें।
+* <math>y </math> के मान की गणना करने के लिए ढलान-अवरोधन समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करें।
 * अंत में, दो रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए नीचे चर्चा किए गए दूरी सूत्र में सभी मान डालें।
@@ Line 16: / Line 17: @@
 दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी का सूत्र नीचे दिया गया है:
-यदि हमारे पास दो रेखाओं का ढलान-अवरोधन रूप y = mx + c1 और y = mx + c2 है, तो दूरी का सूत्र है:
+यदि हमारे पास दो रेखाओं का ढलान-अवरोधन रूप <math>y= mx + c_1 </math> और <math>y= mx + c_2 </math>  है, तो दूरी का सूत्र है:
-d=|c2−c1|√1+m2
+<math>d=\frac{|c_2-c_1|}{{\sqrt{1+m^2}}}</math>
-यहाँ, c1 रेखा l1 का स्थिरांक है और c2 रेखा l2 का स्थिरांक है। साथ ही, m रेखा के ढलान को दर्शाता है।
-यदि समांतर रेखाओं के समीकरण ax+by+c1=0 और ax+by+c2=0 में दिए गए हैं, तो दूरी का सूत्र है:
-d=|c2−c1|√a2+b2
+यहाँ, <math>c_1</math> रेखा <math>l_1</math> का स्थिरांक है और <math>c_2</math> रेखा <math>l_2</math>का स्थिरांक है। साथ ही, <math>m</math> रेखा के ढलान को दर्शाता है।
+यदि समांतर रेखाओं के समीकरण <math>ax+by+c_1=0</math> और <math>ax+by+c_2=0</math> में दिए गए हैं, तो दूरी का सूत्र है:
-दो तिरछी रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी
+<math>d=\frac{|c_2-c_1|}{{\sqrt{a^2+b ^2}}}</math>
-तिरछी रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी की गणना करने का सूत्र खोजने से पहले, आइए याद करें कि तिरछी रेखाएँ क्या होती हैं। तिरछी रेखाएँ बहुआयामी प्रणाली में मौजूद होती हैं, जहाँ दो रेखाएँ गैर-समानांतर होती हैं लेकिन कभी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं। यह केवल 3-आयामों या उससे अधिक में ही संभव है।
+== दो विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम  दूरी ==
+विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम  दूरी की गणना करने का सूत्र ज्ञात करने से पहले, आइए याद करें कि विषम रेखाएँ क्या होती हैं। विषम रेखाएँ बहुआयामी प्रणाली में उपस्थित होती हैं, जहाँ दो रेखाएँ गैर-समानांतर होती हैं लेकिन कभी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं। यह केवल 3-आयामों या उससे अधिक में ही संभव है।
-आइए दो तिरछी रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी की गणना करने का सूत्र देखें जिनके समीकरण हैं
+आइए दो विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम  दूरी की गणना करने का सूत्र देखें जिनके समीकरण हैं
-→
+<math>\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{a_1}+t\overrightarrow{b_1}</math> और  <math>\overrightarrow{r_2 }=\overrightarrow{a_2}+t\overrightarrow{b_2}</math>, है:
-r
+<math>d=|\frac{(\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1})\cdot (\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2})}{(\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2})}|</math>
+दो विषम रेखाओं के बीच की दूरी, यदि रेखाओं का समीकरण कार्टेशियन रूप में  निम्नानुसार
-=
+<math>( x-x_1)/a1=(y-y_1)/b_1=(z-z_1)/c1</math>
-→
+<math>(x-x_2)/a_2=(y-y_2)/b_2=(z-z_2)/c_2,</math>    दिया गया है
-a
+<math>d=\frac{\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 &b_2&c_2\end{vmatrix}}{[(b_1c_2-b_2c_1)^2+(c_1a_2-a_2c_1)^2+(a_1b_2-b_2a_1)^2]^{1/2}}</math>
-+
+== उदाहरण ==
+'''उदाहरण'''   दो विषम रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी निर्धारित करें, यदि रेखाओं के समीकरण <math>\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\lambda(2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})</math> और <math>\overrightarrow{r_2}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}+\mu(3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k})</math> हैं।
-t
+'''समाधान:'''
-→
+ज्ञात करें: दो रेखाओं के बीच की दूरी
-b
+एक रेखा के समीकरण के मानक रूप, यानी  <math>\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{a_1}+t\overrightarrow{b_1}</math> और  <math>\overrightarrow{r_2 }=\overrightarrow{a_2}+t\overrightarrow{b_2}</math> से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,
+<math>a_1=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}, a_2=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}</math>
-और
+<math>b_1=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}, b_2=3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}</math>
-→
+अब, दो विषम रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए सूत्र में मान डालने पर, हमें यह प्राप्त होता है:
-r
+<math>d=|[(2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})\times (3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k})]\cdot (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k})|/|(2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})\times (3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k})|</math>
+हल करने पर हमें मिलता है:
-=
+<math>= | 3 -0 + 7 | / (59)^{1/2}</math>
-→
+<math>= 10 / (59)^{1/2} = 10/7.68</math>
-a
+<math>= 1.30</math> एकांक /इकाइयाँ
-+
-t
-→
-b
-, है:
-d=|(→a2−→a1).(→b1×→b2)(→b1×→b2)|
-The distance between two skew lines, if the equation of the lines is given in cartesian form as(x–x1)/a1=(y–y1)/b1=(z–z1)/c1(x–x2)/a2=(y–y2)/b2=(z–z2)/c2, is:
-d=∣∣ ∣∣x2–x1y2–y1z2–z1a1b1c1a2b2c2∣∣ ∣∣[(b1c2–b2c1)2+(c1a2–a2c1)2+(a1b2–b2a1)2]1/2
-'''Example'''
-'''Example 2'''
-Determine the shortest distance between two skew lines, if the equations of the lines are →r1=→i+→j+λ(2→i–→j+→k) and →r2=2→i+→j–→k+μ(3→i–5→j+2→k).
-'''Solution:'''
-To find: distance between two lines
-Comparing with the standard form of the equation of a line, i.e., →r1=→a1+t→b1 and →r2=→a2+t→b2, we get,
-a1=→i+→j,  a2=2→i+→j–→kb1=2→i–→j+→k,  b2=3→i–5→j+2→k
-Now, on putting the values in the formula to calculate the distance between two skew lines, we get:
-d=|[(2→i–→j+→k)×(3→i–5→j+2→k)].(→i–→k)|/|(2→i–→j+→k)×(3→i–5→j+2→k)|
-On solving we get:
-= | 3 – 0 + 7 | / (59)<sup>1/2</sup>
-= 10 / (59)<sup>1/2</sup> = 10/7.68
-= 1.30 units.
 [[Category:त्रि-विमीय ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]