स्वतंत्र घटनाएँ: Difference between revisions

Latest revision as of 17:25, 18 December 2024

स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं की परिभाषा सप्रतिबंध प्रायिकता से जुड़ी हुई है। आइए स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं की परिभाषाओं को उनके सूत्रों के साथ देखें।

दो घटनाओं को स्वतंत्र घटनाएँ कहा जाता है यदि एक घटना का परिणाम दूसरे के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। या, हम कह सकते हैं कि यदि एक घटना किसी अन्य घटना की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करती है, तो उसे एक स्वतंत्र घटना कहा जाता है। प्रायिकता में स्वतंत्र घटनाएँ वास्तविक जीवन की घटनाओं को दर्शाती हैं। इसे समझने के लिए, हम कुछ उदाहरण ले सकते हैं जैसे कि परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने से पड़ोसियों की गतिविधियों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसी तरह, बाजार जाने के लिए टैक्सी लेना TV पर आपकी पसंदीदा फिल्म खोजने पर कोई प्रभाव नहीं डालता है। इसे दूसरे तरीके से कहें तो एक स्वतंत्र घटना किसी अन्य घटना के पहले होने पर निर्भर नहीं करती है।

स्वतंत्र घटनाओं के प्रकार

प्रायिकता में दो प्रकार की घटनाएँ होती हैं जिन्हें प्रायः आश्रित घटनाओं या स्वतंत्र घटनाओं के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। आइए उनके अंतर का अध्ययन करें।

स्वतंत्र घटनाएँ

जैसा कि नाम से पता चलता है, स्वतंत्र घटनाएँ ऐसी दो घटनाएँ हैं जिनमें एक घटना का होना दूसरी घटना के होने पर निर्भर नहीं करता है। यानी, अगर $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं तो $P(A|B)=P(A)$ और $P(B|A)=P(B)$ । इस प्रकार, स्वतंत्र घटनाओं का सूत्र प्राप्त करने के लिए, हमें बस उपरोक्त (आश्रित घटनाओं) सूत्रों में से किसी एक में $P(A|B)$ को $P(A)$ (या $P(B|A)$ को $P(B))$ से बदलना होगा। इसलिए, दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

इसे प्रायिकता का गुणन नियम भी कहा जाता है।

स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात करना

स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता का पता लगाने के लिए हमें सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करना चाहिए जो नीचे दिया गया है: यदि घटना $A$ और $B$ की प्रायिकता क्रमशः $P(A)$ और $P(B)$ है, तो घटना $B$ की सप्रतिबंध संभावना, जैसे कि घटना $A$ पहले ही घटित हो चुकी है, $P(A|B)$ है।

सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र नीचे प्रस्तुत किया गया है।

$P({\frac {A}{B}})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\ or\ {\frac {P(B\cap A)}{P(B)}}$

दिया गया है, $P(A),\ 0$ से अधिक होना चाहिए। $P(A),\ 0$ से कम होने का अर्थ है कि $A$ एक असंभव घटना है। $P(A\cap B)$ में, प्रतिच्छेदन किसी घटना की मिश्रित प्रायिकता को दर्शाता है।

आइए एक उदाहरण के माध्यम से स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता का विस्तार से पता लगाएं। मान लीजिए, हमारे पास एक डब्बा है, जिसमें 10 खिलौने हैं जिनमें से 7 खिलौने बहुरंगी हैं और 3 नीले हैं। इसके आधार पर हम जानते हैं कि एक बहुरंगी खिलौना निकालने की प्रायिकता 7 बटा 10, या 0.7 है, और एक नीला खिलौना निकालने की प्रायिकता 3 बटा 10, या 0.3 है।

स्वतंत्र घटनाओं की पहचान करने की विधि

प्रायिकता सूत्र लागू करने से पहले, किसी को एक स्वतंत्र घटना की पहचान करने की आवश्यकता होती है। यह जाँचने के लिए कुछ चरण कि क्या प्रायिकता आश्रित या स्वतंत्र घटनाओं से संबंधित है:

चरण 1: जाँच करें कि क्या घटनाओं का किसी भी क्रम में घटित होना संभव है? यदि हाँ, तो चरण 2 पर जाएँ, या फिर चरण 3 पर जाएँ

चरण 2: जाँच करें कि क्या एक घटना दूसरी घटना के परिणाम को प्रभावित करती है? यदि हाँ, तो चरण 4 पर जाएँ, या फिर चरण 3 पर जाएँ

चरण 3: घटना स्वतंत्र है। स्वतंत्र घटनाओं के सूत्र का उपयोग करें और उत्तर पाएँ।

चरण 4: घटना आश्रित है। आश्रित घटना के सूत्र का उपयोग करें और उत्तर पाएँ।

उदाहरण

उदाहरण : मनीष और सुहास ताश के पत्तों से खेल रहे हैं और एक पैक में 52 पत्ते हैं। मनीष ने एक कार्ड यादृच्छिक रूप से निकाला और उसके बदले में एक पत्ता निकाला। फिर उसने सुहास से पूछा कि रानी के बाद राजा निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

जैसा कि हम समझते हैं कि इस प्रायिकता में एक स्वतंत्र घटना की स्थिति है:

$P$ (पहली स्थिति में रानी निकालना) $=4/52$

$P$ (प्रतिस्थापन के साथ रानी के बाद दूसरी स्थिति में राजा निकालना) $=4/52$

$P$ (रानी के बाद राजा निकालना) $=4/52\times 4/52=16/2704=1/169$

उत्तर: $P$ (रानी के बाद राजा निकालना) $=1/169$

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-स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं की परिभाषा सशर्त संभाव्यता से जुड़ी हुई है। आइए स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं की परिभाषाओं को उनके सूत्रों के साथ देखें।
+स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं की परिभाषा [[सप्रतिबंध प्रायिकता]]  से जुड़ी हुई है। आइए स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं की परिभाषाओं को उनके सूत्रों के साथ देखें।
-दो घटनाओं को स्वतंत्र घटनाएँ कहा जाता है यदि एक घटना का परिणाम दूसरे के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। या, हम कह सकते हैं कि यदि एक घटना किसी अन्य घटना की संभावना को प्रभावित नहीं करती है, तो उसे एक स्वतंत्र घटना कहा जाता है। संभाव्यता में स्वतंत्र घटनाएँ वास्तविक जीवन की घटनाओं को दर्शाती हैं। इसे समझने के लिए, हम कुछ उदाहरण ले सकते हैं जैसे कि परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने से पड़ोसियों की गतिविधियों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसी तरह, बाजार जाने के लिए टैक्सी लेना Youtube पर आपकी पसंदीदा फिल्म खोजने पर कोई प्रभाव नहीं डालता है। इसे दूसरे तरीके से कहें तो एक स्वतंत्र घटना किसी अन्य घटना के पहले होने पर निर्भर नहीं करती है।
+दो घटनाओं को स्वतंत्र घटनाएँ कहा जाता है यदि एक घटना का परिणाम दूसरे के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। या, हम कह सकते हैं कि यदि एक घटना किसी अन्य घटना की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करती है, तो उसे एक स्वतंत्र घटना कहा जाता है। प्रायिकता  में स्वतंत्र घटनाएँ वास्तविक जीवन की घटनाओं को दर्शाती हैं। इसे समझने के लिए, हम कुछ उदाहरण ले सकते हैं जैसे कि परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने से पड़ोसियों की गतिविधियों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसी तरह, बाजार जाने के लिए टैक्सी लेना TV पर आपकी पसंदीदा फिल्म खोजने पर कोई प्रभाव नहीं डालता है। इसे दूसरे तरीके से कहें तो एक स्वतंत्र घटना किसी अन्य घटना के पहले होने पर निर्भर नहीं करती है।
-स्वतंत्र घटनाओं के प्रकार क्या हैं? संभाव्यता में दो प्रकार की घटनाएँ होती हैं जिन्हें अक्सर आश्रित घटनाओं या स्वतंत्र घटनाओं के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। आइए उनके अंतर का अध्ययन करें।
+== स्वतंत्र घटनाओं के प्रकार ==
+प्रायिकता  में दो प्रकार की घटनाएँ होती हैं जिन्हें प्रायः आश्रित घटनाओं या स्वतंत्र घटनाओं के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। आइए उनके अंतर का अध्ययन करें।
-स्वतंत्र घटनाएँ
+=== स्वतंत्र घटनाएँ ===
+जैसा कि नाम से पता चलता है, स्वतंत्र घटनाएँ ऐसी दो घटनाएँ हैं जिनमें एक घटना का होना दूसरी घटना के होने पर निर्भर नहीं करता है। यानी, अगर <math>A</math> और <math>B</math> स्वतंत्र हैं तो <math>P(A | B) = P(A)</math> और <math>P(B | A) = P(B)</math>। इस प्रकार, स्वतंत्र घटनाओं का सूत्र प्राप्त करने के लिए, हमें बस उपरोक्त (आश्रित घटनाओं) सूत्रों में से किसी एक में <math>P(A | B)</math> को <math>P(A)</math>  (या <math>P(B | A)</math>को <math>P(B))</math> से बदलना होगा। इसलिए, दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि
-जैसा कि नाम से पता चलता है, स्वतंत्र घटनाएँ ऐसी दो घटनाएँ हैं जिनमें एक घटना का होना दूसरी घटना के होने पर निर्भर नहीं करता है। यानी, अगर A और B स्वतंत्र हैं तो P(A | B) = P(A) और P(B | A) = P(B)। इस प्रकार, स्वतंत्र घटनाओं का सूत्र प्राप्त करने के लिए, हमें बस उपरोक्त (आश्रित घटनाओं) सूत्रों में से किसी एक में P(A | B) को P(A) (या P(B | A) को P(B)) से बदलना होगा। इसलिए, दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि
+<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>
-P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
+इसे [[प्रायिकता का गुणन नियम]] भी कहा जाता है।
-इसे प्रायिकता का गुणन नियम भी कहा जाता है।
+=== स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात करना ===
+स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता का पता लगाने के लिए हमें सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करना चाहिए जो नीचे दिया गया है: यदि घटना <math>A</math> और <math>B</math> की प्रायिकता क्रमशः <math>P(A)</math>और <math>P(B)</math> है, तो घटना <math>B</math> की सप्रतिबंध संभावना, जैसे कि घटना <math>A</math> पहले ही घटित हो चुकी है, <math>P(A | B)</math> है।
-स्वतंत्र घटनाओं की संभावना का पता लगाना
+सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र नीचे प्रस्तुत किया गया है।
-स्वतंत्र घटनाओं की संभावना का पता लगाने के लिए हमें सशर्त संभावना के सूत्र का उपयोग करना चाहिए जो नीचे दिया गया है: यदि घटना A और B की संभावना क्रमशः P(A) और P(B) है, तो घटना B की सशर्त संभावना, जैसे कि घटना A पहले ही घटित हो चुकी है, P(A/B) है। सशर्त संभावना सूत्र नीचे प्रस्तुत किया गया है।
+<math>P(\frac{A}{B})=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\ or\ \frac{P(B\cap A)}{P(B)}</math>
-P(AB)=P(A∩B)P(B)orP(B∩A)P(B)
+दिया गया है, <math>P(A),\  0</math> से अधिक होना चाहिए। <math>P(A),\  0</math> से कम होने का अर्थ है कि <math>A</math> एक असंभव घटना है। <math>P(A\cap B)</math> में, प्रतिच्छेदन किसी घटना की मिश्रित प्रायिकता को दर्शाता है।
-दिया गया है, P(A) 0 से अधिक होना चाहिए। P(A) 0 से कम होने का अर्थ है कि A एक असंभव घटना है। P(A∩B) में, प्रतिच्छेदन किसी घटना की मिश्रित संभावना को दर्शाता है।
+आइए एक उदाहरण के माध्यम से स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता का विस्तार से पता लगाएं। मान लीजिए, हमारे पास एक डब्बा है, जिसमें 10 खिलौने हैं जिनमें से 7 खिलौने बहुरंगी हैं और 3 नीले हैं। इसके आधार पर हम जानते हैं कि एक बहुरंगी खिलौना निकालने की प्रायिकता 7 बटा 10, या 0.7 है, और एक नीला खिलौना निकालने की प्रायिकता 3 बटा 10, या 0.3 है।
-आइए एक उदाहरण के माध्यम से स्वतंत्र घटनाओं की संभावना का विस्तार से पता लगाएं। मान लीजिए, हमारे पास एक बॉक्स है जिसमें 10 खिलौने हैं जिनमें से 7 खिलौने बहुरंगी हैं और 3 नीले हैं। इसके आधार पर हम जानते हैं कि एक बहुरंगी खिलौना निकालने की संभावना 7 बटा 10, या 0.7 है, और एक नीला खिलौना निकालने की संभावना 3 बटा 10, या 0.3 है।
 == स्वतंत्र घटनाओं की पहचान करने की विधि ==
-संभावना सूत्र लागू करने से पहले, किसी को एक स्वतंत्र घटना की पहचान करने की आवश्यकता होती है। यह जाँचने के लिए कुछ चरण कि क्या संभावना आश्रित या स्वतंत्र घटनाओं से संबंधित है:
+प्रायिकता सूत्र लागू करने से पहले, किसी को एक स्वतंत्र घटना की पहचान करने की आवश्यकता होती है। यह जाँचने के लिए कुछ चरण कि क्या प्रायिकता आश्रित या स्वतंत्र घटनाओं से संबंधित है:
 चरण 1: जाँच करें कि क्या घटनाओं का किसी भी क्रम में घटित होना संभव है? यदि हाँ, तो चरण 2 पर जाएँ, या फिर चरण 3 पर जाएँ
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 == उदाहरण ==
-उदाहरण 1: जोसेफ और डेविड ताश के पत्तों से खेल रहे हैं और एक पैक में 52 पत्ते हैं। जोसेफ ने एक कार्ड यादृच्छिक रूप से निकाला और उसके बदले में एक पत्ता निकाला। फिर उसने डेविड से पूछा कि रानी के बाद राजा निकलने की संभावना क्या है?
+'''उदाहरण''' : मनीष और सुहास ताश के पत्तों से खेल रहे हैं और एक पैक में 52 पत्ते हैं। मनीष ने एक कार्ड यादृच्छिक रूप से निकाला और उसके बदले में एक पत्ता निकाला। फिर उसने सुहास से पूछा कि रानी के बाद राजा निकलने की प्रायिकता क्या है?
-समाधान:
+'''समाधान''':
-जैसा कि हम समझते हैं कि इस संभावना में एक स्वतंत्र घटना की स्थिति है:
+जैसा कि हम समझते हैं कि इस प्रायिकता में एक स्वतंत्र घटना की स्थिति है:
-P (पहली स्थिति में रानी निकालना) = 4/52
+<math>P</math> (पहली स्थिति में रानी निकालना) <math>= 4/52</math>
-P (प्रतिस्थापन के साथ रानी के बाद दूसरी स्थिति में राजा निकालना) = 4/52
+<math>P</math> (प्रतिस्थापन के साथ रानी के बाद दूसरी स्थिति में राजा निकालना) <math>= 4/52</math>
-P (रानी के बाद राजा निकालना) = 4/52 × 4/52 = 16/2704 = 1/169
+<math>P</math> (रानी के बाद राजा निकालना) <math>= 4/52 \times 4/52 = 16/2704 = 1/169</math>
-उत्तर: P (रानी के बाद राजा निकालना) = 1/169
+'''उत्तर''': <math>P</math> (रानी के बाद राजा निकालना) <math>= 1/169</math>
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