यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन: Difference between revisions

Latest revision as of 20:35, 18 December 2024

यादृच्छिक चर, एक चर है जिसका उपयोग यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम को मापने के लिए किया जाता है। चूंकि आँकड़ा दो प्रकार का हो सकता है, असतत और सतत इसलिए, दो प्रकार के यादृच्छिक चर हो सकते हैं। एक असतत यादृच्छिक चर एक सटीक मान ले सकता है जबकि एक सतत यादृच्छिक चर का मान कुछ विशेष अंतराल के बीच होगा।

प्रायिकता प्रसरण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि किसी दिए गए यादृच्छिक चर के मानों पर संभावनाएँ कैसे वितरित की जाती हैं। इस लेख में, हम एक यादृच्छिक चर की परिभाषा, इसके प्रकार और विभिन्न उदाहरण देखेंगे।

यादृच्छिक चर, वह चर होता है जो कई मान ले सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यादृच्छिक घटना के कई परिणाम हो सकते हैं। इस प्रकार, यादृच्छिक चर को बीजीय चर के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। बीजीय चर एक बीजीय समीकरण में एक अज्ञात मात्रा के मान का प्रतिनिधित्व करता है जिसे गणना की जा सकती है। दूसरी ओर, एक यादृच्छिक चर में मानों का एक समुच्चय हो सकता है जो एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणामी परिणाम हो सकता है।

परिभाषा

एक यादृच्छिक चर को एक प्रकार के चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका मूल्य एक निश्चित यादृच्छिक घटना के संख्यात्मक परिणामों पर निर्भर करता है। इसे स्टोकेस्टिक चर के रूप में भी जाना जाता है। यादृच्छिक चर सदैव वास्तविक संख्याएँ होती हैं क्योंकि उन्हें मापने योग्य होना आवश्यक है।

उदाहरण

मान लीजिए 2 पासे फेंके जाते हैं और यादृच्छिक चर, $X$ , का उपयोग संख्याओं के योग को दर्शाने के लिए किया जाता है। तब, $X$ का सबसे छोटा मान 2 (1 + 1) के बराबर होगा, जबकि उच्चतम मान $12(6+6)$ होगा। इस प्रकार, $X$ , 2 से 12 (समावेशी) के बीच कोई भी मान ले सकता है। अब यदि प्रत्येक परिणाम से संभावनाएँ जुड़ी हुई हैं तो X का प्रायिकता प्रसरण निर्धारित किया जा सकता है।

यादृच्छिक चर के प्रकार

उपलब्ध आँकड़ा के प्रकार के आधार पर यादृच्छिक चर को दो व्यापक श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है। ये इस प्रकार दिए गए हैं:

असतत यादृच्छिक चर
सतत यादृच्छिक चर

एक असतत यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए एक प्रायिकता द्रव्यमान फलन का उपयोग किया जाता है और एक प्रायिकता घनत्व फलन एक सतत यादृच्छिक चर का वर्णन करता है। आगामी अनुभाग इन विषयों को विस्तार से कवर करेंगे।

असतत यादृच्छिक चर

असतत यादृच्छिक चर वह चर है जो सीमित संख्या में अलग-अलग मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, एक परिवार में बच्चों की संख्या को असतत यादृच्छिक चर का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। एक प्रायिकता प्रसरण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि एक यादृच्छिक चर क्या मान ले सकता है और यह इन मानों को कितनी बार लेता है। कुछ असतत यादृच्छिक चर जो कुछ विशेष प्रायिकता वितरणों से जुड़े हैं, उन्हें आगामी अनुभाग में विस्तृत रूप से बताया जाएगा।

द्विपद यादृच्छिक चर
ज्यामितीय यादृच्छिक चर
बर्नौली यादृच्छिक चर
पॉइसन यादृच्छिक चर

सतत यादृच्छिक चर

एक यादृच्छिक चर जो अनंत संभावित मान ले सकता है उसे सतत यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है। इस तरह के चर को किसी विशिष्ट मान के बजाय मानों के अंतराल पर परिभाषित किया जाता है। सतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण किसी व्यक्ति का वजन है। एक सतत यादृच्छिक चर के सटीक मान लेने की संभावना 0 है, इसलिए ऐसे चर का वर्णन करने के लिए एक प्रायिकता घनत्व फलन का उपयोग किया जाता है। कुछ सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले सतत यादृच्छिक चर नीचे दिए गए हैं।

घातांकीय यादृच्छिक चर
सामान्य यादृच्छिक चर

यादृच्छिक चर का माध्य

यादृच्छिक चर के औसत मान को यादृच्छिक चर का माध्य कहा जाता है। माध्य को अपेक्षित मान के रूप में भी जाना जाता है। इसे आम तौर पर E[X] द्वारा दर्शाया जाता है। जहाँ X यादृच्छिक चर है। यादृच्छिक चर के माध्य या अपेक्षित मान को चर के सभी मानों के भारित औसत के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। यादृच्छिक चर के माध्य के लिए सूत्र नीचे दिए गए हैं:

असतत यादृच्छिक चर का माध्य: $E[X]=\textstyle \sum _{}^{\displaystyle }xP(X=x)$ यहाँ $P(X=x)$ प्रायिकता द्रव्यमान फलन है।

सतत यादृच्छिक चर का माध्य: $E[X]=\int xf(x)dx.f(x)$ प्रायिकता घनत्व फलन है

यादृच्छिक चर का प्रसरण

यादृच्छिक चर के प्रसरण को माध्य से यादृच्छिक चर के अंतर के वर्ग के अपेक्षित मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यादृच्छिक चर का प्रसरण $Var[X]$ या $\sigma ^{2}$ द्वारा दिया जाता है। यदि $\mu$ माध्य है तो प्रसरण का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

असतत यादृच्छिक चर का विचरण: $Var[X]=\textstyle \sum _{}^{\displaystyle }(x-\mu )^{2}P(X=x)$ सतत यादृच्छिक चर का विचरण: $Var[X]=\int (x-\mu )^{2}f(x)dx$

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-यादृच्छिक चर एक चर है जिसका उपयोग यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम को मापने के लिए किया जाता है। चूंकि डेटा दो प्रकार का हो सकता है, असतत और सतत इसलिए, दो प्रकार के यादृच्छिक चर हो सकते हैं। एक असतत यादृच्छिक चर एक सटीक मान ले सकता है जबकि एक सतत यादृच्छिक चर का मान कुछ विशेष अंतराल के बीच होगा।
+यादृच्छिक चर, एक चर है जिसका उपयोग यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम को मापने के लिए किया जाता है। चूंकि आँकड़ा दो प्रकार का हो सकता है, असतत और सतत इसलिए, दो प्रकार के यादृच्छिक चर हो सकते हैं। एक असतत यादृच्छिक चर एक सटीक मान ले सकता है जबकि एक सतत यादृच्छिक चर का मान कुछ विशेष अंतराल के बीच होगा।
-संभाव्यता वितरण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि किसी दिए गए यादृच्छिक चर के मानों पर संभावनाएँ कैसे वितरित की जाती हैं। इस लेख में, हम एक यादृच्छिक चर की परिभाषा, इसके प्रकार और विभिन्न उदाहरण देखेंगे।
+[[प्रायिकता का सांख्यिकीय दृष्टिकोण|प्रायिकता प्रसरण]] का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि किसी दिए गए यादृच्छिक चर के मानों पर संभावनाएँ कैसे वितरित की जाती हैं। इस लेख में, हम एक यादृच्छिक चर की परिभाषा, इसके प्रकार और विभिन्न उदाहरण देखेंगे।
-यादृच्छिक चर वह वैरिएबल होता है जो कई मान ले सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि रैंडम घटना के कई परिणाम हो सकते हैं। इस प्रकार, यादृच्छिक चर को बीजीय वैरिएबल के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। बीजीय वैरिएबल एक बीजीय समीकरण में एक अज्ञात मात्रा के मान का प्रतिनिधित्व करता है जिसे गणना की जा सकती है। दूसरी ओर, एक यादृच्छिक चर में मानों का एक सेट हो सकता है जो एक रैंडम प्रयोग का परिणामी परिणाम हो सकता है।
+यादृच्छिक चर,  वह चर होता है जो कई मान ले सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यादृच्छिक घटना के कई परिणाम हो सकते हैं। इस प्रकार, यादृच्छिक चर को बीजीय चर के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। बीजीय चर एक बीजीय समीकरण में एक अज्ञात मात्रा के मान का प्रतिनिधित्व करता है जिसे गणना की जा सकती है। दूसरी ओर, एक यादृच्छिक चर में मानों का एक समुच्चय हो सकता है जो एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणामी परिणाम हो सकता है।
 == परिभाषा ==
-एक यादृच्छिक चर को एक प्रकार के चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका मूल्य एक निश्चित यादृच्छिक घटना के संख्यात्मक परिणामों पर निर्भर करता है। इसे स्टोकेस्टिक चर के रूप में भी जाना जाता है। यादृच्छिक चर हमेशा वास्तविक संख्याएँ होती हैं क्योंकि उन्हें मापने योग्य होना आवश्यक है।
+एक यादृच्छिक चर को एक प्रकार के चर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका मूल्य एक निश्चित यादृच्छिक घटना के संख्यात्मक परिणामों पर निर्भर करता है। इसे स्टोकेस्टिक चर के रूप में भी जाना जाता है। यादृच्छिक चर सदैव [[वास्तविक संख्याएँ]] होती हैं क्योंकि उन्हें मापने योग्य होना आवश्यक है।
 == उदाहरण ==
-मान लीजिए 2 पासे फेंके जाते हैं और यादृच्छिक चर, X, का उपयोग संख्याओं के योग को दर्शाने के लिए किया जाता है। तब, X का सबसे छोटा मान 2 (1 + 1) के बराबर होगा, जबकि उच्चतम मान 12 (6 + 6) होगा। इस प्रकार, X 2 से 12 (समावेशी) के बीच कोई भी मान ले सकता है। अब यदि प्रत्येक परिणाम से संभावनाएँ जुड़ी हुई हैं तो X का संभाव्यता वितरण निर्धारित किया जा सकता है।
+मान लीजिए 2 पासे फेंके जाते हैं और यादृच्छिक चर, <math>X</math>, का उपयोग संख्याओं के योग को दर्शाने के लिए किया जाता है। तब, <math>X</math> का सबसे छोटा मान 2 (1 + 1) के बराबर होगा, जबकि उच्चतम मान <math>12 (6 + 6)</math> होगा। इस प्रकार, <math>X</math>,  2 से 12 (समावेशी) के बीच कोई भी मान ले सकता है। अब यदि प्रत्येक परिणाम से संभावनाएँ जुड़ी हुई हैं तो X का प्रायिकता प्रसरण निर्धारित किया जा सकता है।
 == यादृच्छिक चर के प्रकार ==
-उपलब्ध डेटा के प्रकार के आधार पर यादृच्छिक चर को दो व्यापक श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है। ये इस प्रकार दिए गए हैं:
+उपलब्ध आँकड़ा के प्रकार के आधार पर यादृच्छिक चर को दो व्यापक श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है। ये इस प्रकार दिए गए हैं:
 * असतत यादृच्छिक चर
-* सतत यादृच्छिक चर
+* [[सतत बारंबारता बंटन|सतत]] यादृच्छिक चर
-एक असतत यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए एक संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है और एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन एक सतत यादृच्छिक चर का वर्णन करता है। आगामी अनुभाग इन विषयों को विस्तार से कवर करेंगे।
+एक असतत यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए एक प्रायिकता द्रव्यमान फलन का उपयोग किया जाता है और एक प्रायिकता घनत्व फलन एक सतत यादृच्छिक चर का वर्णन करता है। आगामी अनुभाग इन विषयों को विस्तार से कवर करेंगे।
 === असतत यादृच्छिक चर ===
-असतत यादृच्छिक चर वह चर है जो सीमित संख्या में अलग-अलग मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, एक परिवार में बच्चों की संख्या को असतत यादृच्छिक चर का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। एक संभाव्यता वितरण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि एक यादृच्छिक चर क्या मान ले सकता है और यह इन मानों को कितनी बार लेता है। कुछ असतत यादृच्छिक चर जो कुछ विशेष संभाव्यता वितरणों से जुड़े हैं, उन्हें आगामी अनुभाग में विस्तृत रूप से बताया जाएगा।
+असतत यादृच्छिक चर वह चर है जो सीमित संख्या में अलग-अलग मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, एक परिवार में बच्चों की संख्या को असतत यादृच्छिक चर का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। एक प्रायिकता प्रसरण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि एक यादृच्छिक चर क्या मान ले सकता है और यह इन मानों को कितनी बार लेता है। कुछ असतत यादृच्छिक चर जो कुछ विशेष प्रायिकता वितरणों से जुड़े हैं, उन्हें आगामी अनुभाग में विस्तृत रूप से बताया जाएगा।
 * द्विपद यादृच्छिक चर
 * ज्यामितीय यादृच्छिक चर
-* बर्नौली यादृच्छिक चर
+* [[बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन|बर्नौली यादृच्छिक चर]]
 * पॉइसन यादृच्छिक चर
 == सतत यादृच्छिक चर ==
-एक यादृच्छिक चर जो अनंत संभावित मान ले सकता है उसे सतत यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है। इस तरह के चर को किसी विशिष्ट मान के बजाय मानों के अंतराल पर परिभाषित किया जाता है। सतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण किसी व्यक्ति का वजन है। एक सतत यादृच्छिक चर के सटीक मान लेने की संभावना 0 है, इसलिए ऐसे चर का वर्णन करने के लिए एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। कुछ सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले सतत यादृच्छिक चर नीचे दिए गए हैं।
+एक यादृच्छिक चर जो अनंत संभावित मान ले सकता है उसे सतत यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है। इस तरह के चर को किसी विशिष्ट मान के बजाय मानों के अंतराल पर परिभाषित किया जाता है। सतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण किसी व्यक्ति का वजन है। एक सतत यादृच्छिक चर के सटीक मान लेने की संभावना 0 है, इसलिए ऐसे चर का वर्णन करने के लिए एक प्रायिकता घनत्व फलन का उपयोग किया जाता है। कुछ सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले सतत यादृच्छिक चर नीचे दिए गए हैं।
 * घातांकीय यादृच्छिक चर
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 यादृच्छिक चर के औसत मान को यादृच्छिक चर का माध्य कहा जाता है। माध्य को अपेक्षित मान के रूप में भी जाना जाता है। इसे आम तौर पर E[X] द्वारा दर्शाया जाता है। जहाँ X यादृच्छिक चर है। यादृच्छिक चर के माध्य या अपेक्षित मान को चर के सभी मानों के भारित औसत के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। यादृच्छिक चर के माध्य के लिए सूत्र नीचे दिए गए हैं:
-असतत यादृच्छिक चर का माध्य: E[X] =∑xP(X=x).  यहाँ P(X = x) प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन है।
+असतत यादृच्छिक चर का माध्य: <math>E[X] =\textstyle \sum_{}^ \displaystyle x P(X=x)</math>  यहाँ  <math>P(X = x)</math> प्रायिकता द्रव्यमान फलन है।
-सतत यादृच्छिक चर का माध्य: E[X] =∫xf(x)dx. f(x) प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है
+सतत यादृच्छिक चर का माध्य: <math>E[X] =\int xf(x)dx. f(x)</math> प्रायिकता घनत्व फलन है
 == यादृच्छिक चर का प्रसरण ==
-यादृच्छिक चर के प्रसरण को माध्य से यादृच्छिक चर के अंतर के वर्ग के अपेक्षित मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यादृच्छिक चर का प्रसरण Var[X] या σ2 द्वारा दिया जाता है। यदि μ माध्य है तो प्रसरण का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:
+यादृच्छिक चर के प्रसरण को माध्य से यादृच्छिक चर के अंतर के वर्ग के अपेक्षित मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यादृच्छिक चर का प्रसरण <math>Var[X]</math> या <math>\sigma^2</math> द्वारा दिया जाता है। यदि <math>\mu</math> माध्य है तो प्रसरण का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:
-असतत यादृच्छिक चर का विचरण: Var[X] =∑(x−μ)2P(X=x)सतत यादृच्छिक चर का विचरण: Var[X] = ∫(x−μ)2f(x)dx
+असतत यादृच्छिक चर का विचरण: <math>Var[X] =\textstyle \sum_{}^ \displaystyle(x-\mu)^2P(X=x)</math> सतत यादृच्छिक चर का विचरण: <math>Var[X] = \int (x-\mu)^2f(x)dx</math>
 [[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]