अंतरिक्ष में एक बिन्दु के निर्देशांक

अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति का ज्ञात करने के लिए, हमें एक समकोण निर्देशांक प्रणाली की आवश्यकता होती है। 3D $3D$ में एक निश्चित निर्देशांक प्रणाली चुनने के बाद, उस प्रणाली में किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक एक क्रमबद्ध $3$-टपल $(x,y,z)$ द्वारा दिए जा सकते हैं। इसके अलावा, यदि निर्देशांक $(x,y,z)$ पहले से ही ज्ञात हैं, तो हम आसानी से अंतरिक्ष में बिंदु $P$ को ज्ञात कर सकते हैं।

अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक

अंतरिक्ष में निश्चित निर्देशांक्षों, निर्देशांक तलों और मूल बिंदु सहित निर्देशांक्ष निकाय के चयन के पश्चात् दिए बिंदु के तीन निर्देशांक $(x,y,z)$ को ज्ञात करने की विधि तथा विलोमतः तीन संख्याओं के त्रिदिक (ट्रिपलेट) दिए जाने पर अंतरिक्ष में संगत बिंदु $(x.1.2)$ के निर्धारण करने की विधि की अब हम विस्तार से व्याख्या करते हैं।

अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु $P$ से $XY$- तल पर PM $PM$ लंब खींचते हैं जिसका पाद $M$ है ( आकृति 12.2 ) । तब $M$ से x- अक्ष पर ML लंब खींचिए, जो उससे $L$ पर मिलता है। मान लीजिए $OL=x$, $LM=y$ और $PM=2$ तब $(x,y,z)$ बिंदु $P$ के निर्देशांक कहलाते हैं। इसमें $x,y,z$ को क्रमश: बिंदु $P$ के $x$- निर्देशांक, $y$- निर्देशांक, तथा $2$- निर्देशांक कहते हैं । आकृति $12.2$ में हम देखते हैं कि बिंदु $P(x,y,z)$ अष्टांश $XOYZ$ में स्थित है, अत: $x$, $y$, और $z$ सभी धनात्मक हैं।

X

Z

P(x,y,z)

M

(x, y, 0)

आकृति 12.2

त्रि-आयामी निर्देशांक प्रणाली

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक बिंदु $P$ है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि हम $XY$ तल पर एक लंबवत $PB$ छोड़ते हैं और फिर बिंदु B से, हम क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर लंबवत BA और BC छोड़ते हैं। लंबवत BC, BA और PB की लंबाई क्रमशः $x$, $y$ और $z$ मानते हुए। इन लंबाइयों $x$, $y$ और $z$ को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु $P$ के निर्देशांक के रूप में जाना जाता है। यह ध्यान रखना चाहिए कि किसी बिंदु के निर्देशांक देते समय, हम उन्हें हमेशा क्रम में लिखते हैं ताकि $x$-अक्ष का निर्देशांक पहले आए, उसके बाद $y$-अक्ष और $z$-अक्ष का निर्देशांक आए। इस प्रकार अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के लिए, इसके प्रतिनिधित्व के लिए वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध 3-टपल मौजूद होता है।