दो रेखाओं के मध्य का कोण
बीच का कोण दो रेखाओं के बीच झुकाव का माप है। दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए, रेखाओं के बीच दो प्रकार के कोण होते हैं, न्यून कोण और अधिक कोण। यहाँ हम रेखाओं के बीच के न्यून कोण को दो रेखाओं के बीच का कोण मानते हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण जिनकी ढलान m1 और m2 है, सूत्र tan-1|(m1 - m2)/(1 + m1 m2)| द्वारा दिया जाता है। आइए एक निर्देशांक तल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच के कोण से संबंधित सभी सूत्रों की जाँच करें।
दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?
दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना दो रेखाओं के ढलानों को जानकर या दो रेखाओं के समीकरणों को जानकर की जा सकती है। दो रेखाओं के बीच का कोण आम तौर पर दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण देता है।
दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना दो रेखाओं के ढलान से और त्रिकोणमितीय स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का उपयोग करके की जा सकती है। आइए हम दो रेखाओं पर विचार करें जिनकी ढलान क्रमशः
m
1
, और
m
2
है। रेखाओं के बीच के न्यून कोण θ की गणना स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।
tan θ = ∣∣∣m1−m21+m1m2∣∣∣
इसके अलावा, हम दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कर सकते हैं यदि दो रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं। मान लें कि दो रेखाओं के समीकरण हैं
l
1
=
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
=
0
, और
l
2
=
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
=
0
। दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना दो रेखाओं के बीच के कोण की स्पर्शरेखा द्वारा की जा सकती है।
tan θ =∣∣∣a2b1−a1b2a1a2+b1b2∣∣∣
दो रेखाओं के बीच के कोण के लिए सूत्र
निम्नलिखित विभिन्न सूत्र दो रेखाओं के बीच के कोण को आसानी से खोजने में मदद करते हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण, जिनमें से एक रेखा ax + by + c = 0 है, और दूसरी रेखा x-अक्ष है, θ = tan-1(-a/b) है।
दो रेखाओं के बीच का कोण, जिनमें से एक रेखा y = mx + c है और दूसरी रेखा x-अक्ष है, θ = tan-1m है।
दो रेखाओं के बीच का कोण जो एक दूसरे के समानांतर हैं और जिनकी ढलान बराबर है (
m
1
=
m
2
) 0º है।
दो रेखाओं के बीच का कोण जो एक दूसरे के लंबवत हैं और जिनकी ढलानों का गुणनफल -1 के बराबर है (
m
1
m
2
=
−
1
) 90º है।
ढलान
m
1
, और
m
2
वाली दो रेखाओं के बीच का कोण क्रमशः θ =
t
a
n
−
1
∣
∣
∣
m
1
−
m
2
1
+
m
1
m
2
∣
∣
∣
.
दो रेखाओं के बीच का कोण जिनके समीकरण
l
1
=
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
=
0
, तथा
l
2
=
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
=
0
है θ =
t
a
n
−
1
∣
∣
a
2
b
1
−
a
1
b
2
a
1
a
2
+
b
1
b
2
∣
∣
दो रेखाओं के बीच का कोण जिनके समीकरण
l
1
=
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
=
0
, तथा
l
2
=
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
=
0
है cos θ =
|
a
1
a
2
+
b
1
b
2
|
√
a
2
1
+
b
2
1
⋅
√
a
2
2
+
b
2
2
सीधी रेखाओं ax2 + 2hxy + by2 = 0 के बीच का कोण θ =
T
a
n
−
1
2
√
(
h
2
−
a
b
)
(
a
+
b
)
कोसाइन नियम के अनुसार, a, b, c की भुजाओं की लंबाई वाले त्रिभुज में, त्रिभुज की दो भुजाओं के बीच का कोण cos A =
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
के बराबर होता है।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का कोण
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना निर्देशांक तल में दो रेखाओं के बीच के कोण के समान ही की जा सकती है। समीकरणों
r
=
a
1
+
λ
b
1
, और
r
=
a
2
+
λ
b
2
, वाली दो रेखाओं के लिए, रेखाओं के बीच का कोण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है।
cos θ =
b
1
⋅
b
2
|
b
1
|
|
b
2
|
इसके अलावा दिशा अनुपात वाली दो रेखाओं के लिए
(
a
1
,
b
1
,
c
1
)
, और
(a
2
,
b
2
,
c
2
)
, रेखाओं के बीच के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।
cos θ =
a
1
a
2
+
b
1
b
2
+
c
1
c
2
√
a
2
1
+
b
2
1
+
c
2
1
√
a
2
2
+
b
2
2
+
c
2
2
इसके अलावा दो रेखाओं के लिए जिनकी दिशा कोसाइन
l
1
,
m
1
,
n
1
, और
l
2
,
m
2
,
n
2
है, दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।
cos θ =
|
l
1
l
2
+
m
1
m
2
+
n
1
n
2
|
