अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण

एक संख्या $x$ को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे ${\frac {p}{q}}$ के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं एवं $q\neq 0$ हैं ।

उदाहरण : ${\sqrt {2}}$ , ${\sqrt {3}}$ , ${\sqrt {7}}$ , $\pi$ , $0.10110111011110.....$ आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।

इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि ${\sqrt {p}}$ अपरिमेय संख्या है , जहाँ $p$ एक अभाज्य संख्या है। हम अपने प्रमाण में अंकगणित की मौलिक प्रमेय का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रमेय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।

अपरिमेय संख्याओं के गुण

अपरिमेय संख्याओं के गुण^[1] निम्नलिखित हैं ;

वे वास्तविक संख्याएँ हैं ।
अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है ।
यदि $a$ और $b$ दो अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ हैं, तो ${\sqrt {ab}}$ ; $a$ और $b$ के बीच स्थित एक अपरिमेय संख्या होगी ।
एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय संख्या होता है ।
एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय संख्या होता है ।
किसी भी अभाज्य संख्या के वर्गमूल का मान सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है ।
दो अपरिमेय संख्याओं के बीच किसी भी संक्रिया (जोड़, गुणा, घटाव, भाग) का परिणाम हमेशा अपरिमेय संख्या नहीं होगा ।
अपरिमेय संख्या की प्रकृति सदैव अनवसानी और दोहराव रहित होती है ।

प्रमेय 1

कथन : माना कि $p$ एक अभाज्य संख्या है, यदि $p$ , $a^{2}$ को विभाजित करता है , तो $p$ , $a$ को भी विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है ।^[2]

प्रमाण :

मान लीजिए कि $a$ का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है ,

$a=p_{1}p_{2}.......p_{n}$ जहाँ $p_{1},p_{2},.....p_{n}$ अभाज्य संख्याएँ है ।

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ,

$a^{2}=(p_{1}p_{2}.....p_{n})(p_{1}p_{2}....p_{n})$

$a^{2}=p_{1}^{2}p_{2}^{2}.....p_{n}^{2}$

कथन में हमें दिया गया है कि, $p$ $a$ को विभाजित करता है, इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि $p$ , $a^{2}$ के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; $a^{2}$ के अभाज्य गुणनखंड $p_{1},p_{2},p_{3},.......p_{n}$ है तो , $p$ का मान $p_{1},p_{2},p_{3},.......p_{n}$ इनमें से एक है ।

इस तरह , $a=p_{1}p_{2}.......p_{n}$ ;

अतः , $p$ $a$ को विभाजित करता है ।

उदाहरण 1

सिद्ध करें कि ${\sqrt {2}}$ एक अपरिमेय संख्या है ।

हल

आइए, इसके विपरीत मान लें कि ${\sqrt {2}}$ एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :

${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ जहाँ, $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और $b\neq 0$ हैं ।

मान लीजिए कि $a$ और $b$ में $1$ के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो हम उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दे सकते हैं, और मान सकते हैं , कि $a$ और $b$ सहअभाज्य हैं । अतः ,

$b{\sqrt {2}}=a$

दोनों तरफ वर्ग करके पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

$2b^{2}=a^{2}$ $.............(1)$

उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि ; $a^{2}$ , $2$ से विभाज्य है , अतः प्रमेय $1$ ( यदि $p$ , $a^{2}$ को विभाजित करता है , तो $p$ , $a$ को भी विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि $a$ भी $2$ से विभाज्य होगा ।

अब, हम कह सकते हैं ,

$a=2c$ जहाँ, $c$ पूर्णांक हैं ।

दोनों तरफ वर्ग करके लिखने पर ,

$a^{2}=4c^{2}$

समीकरण $(1)$ से $a^{2}$ का मान रखने पर ,

$2b^{2}=4c^{2}$

दोनों पक्षों में $2$ से भाग देने पर ,

$b^{2}=2c^{2}$

अतः , यह स्पष्ट है कि $2$ , $b^{2}$ से विभाज्य है , प्रमेय $1$ ( यदि $p$ , $a^{2}$ को विभाजित करता है , तो $p$ , $a$ को भी विभाजित करता है, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि $2$ , $b$ से भी विभाज्य हैं ।

इसलिए यह स्पष्ट है कि $a$ और $b$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $a$ और $b$ में $1$ के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि ${\sqrt {2}}$ एक परिमेय संख्या है ।

अतः , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ${\sqrt {2}}$ अपरिमेय संख्या है ।

उदाहरण 2

सिद्ध करें कि $5-{\sqrt {3}}$ एक अपरिमेय संख्या है ।

हल

आइए, इसके विपरीत मान लें कि $5-{\sqrt {3}}$ एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :

$5-{\sqrt {3}}={\frac {a}{b}}$ जहाँ, $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और $b\neq 0$ हैं ।

पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

${\sqrt {3}}=5-{\frac {a}{b}}$

${\sqrt {3}}={\frac {5b-a}{b}}$

चूँकि , $a$ और $b$ पूर्णांक हैं ; अतः , यह स्पष्ट है कि $5-{\frac {a}{b}}$ एक परिमेय संख्या है और इसलिए ${\sqrt {3}}$ एक परिमेय संख्या है । लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि ${\sqrt {3}}$ अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी ग़लत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $5-{\sqrt {3}}$ एक परिमेय संख्या है ।