संबंधों के प्रकार

भूमिका

गणित में, संबंध क्रमित युग्मों का एक समूह है। प्रत्येक क्रमित युग्म में दो अवयव होते हैं, जिन्हें पहला अवयव और दूसरा अवयव कहा जाता है। पहले अवयव को प्रायः निवेश(इनपुट) या प्रांत(डोमेन) कहा जाता है, जबकि दूसरे अवयव को निर्गम(आउटपुट) या परिसर(रेंज) कहा जाता है।

परिभाषा

समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ का संबंध $R$ कार्टेशियन गुणन $A\times B$ का एक उपसमुच्चय है। दूसरे शब्दों में, एक संबंध $R$ क्रमित युग्मों $(a,b)$ का एक संग्रह है, जहां $a$, $A$ में है और $b$,$B$ में है।

उदाहरण:

समुच्चय $A=\{1,2,3\}$ और समुच्चय $B=\{a,b,c\}$ पर विचार करें। क्रमित युग्मों का समुच्चय $\{(1,a),(2,b),(3,c)\}$ $A$ से $B$ तक का संबंध है।

संबंधों के प्रकार

संबंध कई प्रकार के होते हैं। कुछ सबसे सामान्य प्रकारों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

• स्वतुल्य : एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव $a$ के लिए, क्रमित युग्म $(a,a)$, $R$ में है।
• सममित: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $R$ में प्रत्येक क्रमित युग्म $(a,b)$ के लिए, क्रमित युग्म $(b,a)$ भी $R$ में हो।
• संक्रामक : एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $R$ में प्रत्येक क्रमित युग्म $(a,b)$ और $R$ में प्रत्येक क्रमित युग्म $(b,c)$ के लिए, क्रमित युग्म $(a,c)$ भी $R$ में हो।

गणितीय समीकरण

ऐसे कई गणितीय समीकरण हैं जिनका उपयोग संबंधों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। कुछ सबसे सामान्य समीकरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

• प्रांत(डोमेन) : किसी संबंध $R$ का प्रांत, $R$ के क्रमित युग्मों में सभी पहले अवयवों का समूह है। $R$ का प्रांत $dom(R)$द्वारा दर्शाया जाता है।
• परिसर(रेंज) : किसी संबंध $R$ का परिसर, $R$ के क्रमित युग्मों में सभी दूसरे अवयवों का समुच्चय है। $R$ के परिसर को $ran(R)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
• प्रतिलोम : किसी संबंध $R$ का प्रतिलोम वह संबंध $R^{-1}$ है जिसमें क्रमित $(b,a)$ होते हैं जहां $(a,b)$ $R$ में है।
• संयोजन : दो संबंधों $R$ और $S$ के संयोजन संबंध $R$ ∘ $S$ है जिसमें क्रमबद्ध युग्म $(a,c)$ सम्मिलित हैं जहां एक अवयव $b$ मौजूद है जैसे कि $(a,b)$, $R$ में है और $(b,c)$, $S$ में है.