शेषफल प्रमेय

जब एक बहुपद को एक रैखिक बहुपद द्वारा विभाजित किया जाता है तो शेषफल ज्ञात करने के लिए शेषफल प्रमेय सूत्र का उपयोग किया जाता है।

शेषफल प्रमेय

शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ होता है"

Example

Find the remainder when the polynomial $p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$ is divided by $x+1$.

	$3x^{2}-2x+4$
$x+1$	$3x^{3}$	$+$	$x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
	$3x^{3}$	$+$	$3x^{2}$
		$-$	$2x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
		$-$	$2x^{2}$	$-$	$2x$
				$+$	$4x$	$+$	$5$
				$+$	$4x$	$+$	$4$
							1

Here, quotient = $3x^{2}-2x+4$

Remainder = $1$

Verification :

Given, the divisor is $x+1$, i.e. it is a factor of the given polynomial $p(x)$

Let $x+1=0$

$x=-1$

Substituting $x=-1$ in $p(x)$,

$p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$

$p(-1-)=3(-1)^{3}+(-1)^{2}+2(-1)+5$

$p(-1-)=3(-1)+1-2+5$

$p(-1-)=-3+1-2+5$

$p(-1-)=1$

Remainder  = Value of $p(x)$ at $x=-1$.

Hence proved the remainder theorem.