त्रिभुज के गुण

प्रमेय 1: समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं

चित्र 1- समद्विबाहु त्रिभुज

प्रमाण: चित्र 1 में दिखाए गए समद्विबाहु त्रिभुज $BCA$ पर विचार करें, जहाँ $AB=AC$ है।

हमें यह सिद्ध करना होगा कि भुजाओं $AB$और $AC$ के सम्मुख कोण समान अर्थात् $\angle ABC=\angle ACB$ हैं।

हम पहले $\angle BAC$का एक समद्विभाजक बनाते हैं और इसे $AD$ नाम देते हैं।

अब $\triangle BAD$ और $\triangle CAD$ में हमारे पास है,

$AB=AC$                                                       (दिया हुआ)

$\angle BAD=\angle CAD$                                (संरचना से)

$AD=AD$                                                           (दोनों में समान)

अत:,  $\triangle BAD\cong \triangle CAD$                            (SAS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)

इसलिए, $\angle ABC=\angle ACB$                                    (CPCT द्वारा)

अतः सिद्ध हुआ।

Theorem 2: The sides opposite to equal angles of a triangle are equal.

Proof: In a triangle $BCA$ shown in fig 1, base angles are equal and we need to prove that $AB=AC$ or $BCA$ is an isosceles triangle.

Construct a bisector $AD$ which meets the side $BC$ at right angles.

Now in $\triangle BAD$ and $\triangle CAD$ we have,

$\angle BAD=\angle CAD$                                        (By construction)

$AD=AD$                                                      (Common side)

$\angle BDA=\angle CDA=90^{\circ }$                                (By construction)

Thus, $\triangle BAD\cong \triangle CAD$                                   (By ASA congruence criterion)

So, $AB=AC$                                            (By CPCT)

Or $\triangle BCA$ is isosceles.