रैखिक समीकरण

रेखीय समीकरण क्या है?

वह समीकरण जिसकी उच्चतम घात $1$ होती है, उसे रैखिक समीकरण कहते हैं। इसका अर्थ है कि रैखिक समीकरण में किसी भी चर का घातांक $1$ इससे अधिक नहीं होता है। एक रेखीय समीकरण का ग्राफ सदैव एक सीधी रेखा बनाता है।

रेखीय समीकरण परिभाषा: रैखिक समीकरण, एक बीजीय समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात हमेशा $1$ होती है। इसे एक-घातीय समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जब इस समीकरण को रेखांकन किया जाता है, तो इसका परिणाम प्रायः एक सीधी रेखा में होता है। इसलिए इसे 'रैखिक' समीकरण का नाम दिया गया है।

एक चर वाले रैखिक समीकरण और दो चर वाले रैखिक समीकरण होते हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों की सहायता से रैखिक समीकरणों और अरैखिक समीकरणों की पहचान करना सीखें।

Equations	Linear or Non-Linear
$y=8x-9$	Linear
$y=x^{2}-7$	Non-Linear, the power of the variable $x$ is 2
${\sqrt {y}}+x=6$	Non-Linear, the power of the variable $y$ is 1/2
$y+3x-1=0$	Linear
$y^{2}-x=9$	Non-Linear, the power of the variable $y$ is 2

मानक रूप में रैखिक समीकरण

एक चर में रैखिक समीकरणों का मानक रूप या सामान्य रूप इस प्रकार लिखा जाता है, $ax+b=0$ जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $x$ एकल चर है।

दो चरों में रैखिक समीकरणों का मानक रूप इस प्रकार व्यक्त किया जाता है, $ax+by+c=0$ जहाँ $a$ , $b$ और $c$ कोई भी वास्तविक संख्याएँ हैं, और $x$ और $y$ चर हैं।

चित्र .1

एक चर में रैखिक समीकरण

एक चर वाला रैखिक समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें केवल एक चर उपस्थित होता है। यह $ax+b=0$ , के रूप का होता है, जहाँ $a$ और $b$ कोई भी दो वास्तविक संख्याएँ हैं और $x$ एक अज्ञात चर है जिसका मात्र एक हल है। यह गणितीय कथन को दर्शाने का सबसे आसान उपाय है। इस समीकरण की एक घात होती है जो सदैव $1$ के समान होती है। . एक चर में रैखिक समीकरण को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। अज्ञात चर का मान प्राप्त करने के लिए, चरों को अलग करके समीकरण के एक तरफ लाया जाता है और स्थिरांकों को जोड़कर समीकरण के दूसरी तरफ लाया जाता है।

उदाहरण: Solve the linear equation in one variable: $3x+6=18$ .

In order to solve the given equation, we bring the numbers on the right-hand side of the equation and we keep the variable on the left-hand side. This means, $3x=18-6$ . Then, as we solve for $x$ , we get, $3x=12$ . Finally, the value of $x={\frac {12}{3}}=4$ .

दो चर वाले रैखिक समीकरण

A linear equation in two variables is of the form $ax+by+c=0$ , in which $a$ , $b$ , $c$ are real numbers and $x$ and $y$ are the two variables, each with a degree of $1$ . If we consider two such linear equations, they are called simultaneous linear equations. For example, $6x+2y+9=0$ is a linear equation in two variables. There are various ways of solving linear equations in two variables like the graphical method, the substitution method, the cross multiplication method, the elimination method, and the determinant method.