कुछ फलन और उनके आलेख

फलन और कुछ आलेख

चित्र-1 f(x)=x

(i) तत्समक फलन: मान लीजिए $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $y=f(x)$, प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर $f$ के प्रांत तथा परिसर $R$ हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।

चित्र-2 f(x)=3

(ii) अचर फलन: $y=f(x)=c$ जहाँ $c$ एक अचर है और प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। यहाँ पर $f$ का प्रांत $R$ है और उसका परिसर $\{c\}$ है। $f$ का आलेख $x$- अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि $f(x)=3$ प्रत्येक $x\in R$ है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।

(iii) बहुपद फलन या बहुपदीय फलन: फलन $f:R\rightarrow R$, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि $R$ के प्रत्येक $x$ के लिए, $y=f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+....+a_{n}x^{n}$, जहाँ ”$n$" एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा $a_{0},a_{1},a_{2},.....a_{n}\in R$ ।

$f(x)=x^{3}-x^{2}+2$, और $g(x)=x^{4}+{\sqrt {2}}x$, द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है जब कि $h(x)=x^{\frac {2}{3}}+2x$ द्वारा परिभाषित फलन $h$, बहुपदीय फलन नहीं है।

(iv) परिमेय फलन: ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ के प्रकार के फलन जहाँ $f(x)$ तथा $g(x)$

एक प्रांत में, $x$ के परिभाषित बहुपदीय फलन हैं, जिसमें $g(x)\neq 0$ परिमेय फलन कहलाते हैं।

उदाहरण एक वास्तविक मान फलन $f:R-\{0\}\rightarrow R$ की परिभाषा $f(x)={\frac {1}{x}}$, $x\in R-\{0\}$ द्वारा कीजिए। इस परिभाषा का प्रयोग करके निम्नलिखित तालिका को पूर्ण करेंगे। इस फलन का प्रांत तथा परिसर क्या हैं,इसका भी ज्ञात करेंगे।

चित्र-3 f(x)=1/x

हल पूर्ण की गई तालिका इस प्रकार है:

$x$	$-2$	$-1.5$	$-1$	$-0.5$	$0.25$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$
$y={\frac {1}{x}}$	$-0.5$	$-0.67$	$-1$	$-2$	$4$	$2$	$1$	$0.67$	$0.5$

इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। $f$ का आलेख चित्र-3 में प्रदर्शित है।

(v) मापांक फलन (Modulus functions) f (x) = bxl प्रत्येक X ER द्वारा परिभाषित फलन fRR, मापांक फलन कहलाता है। x के प्रत्येक ऋणेत्तर मान के लिए f(x), x के बराबर होता है। परंतु x के ऋण मानों के लिए, f(x) का मान x के मान के ऋण के बराबर होता है,

[xx 20 f(x)=- -x, x < 0

अर्थात्

मापांक फलन का आलेख आकृति 2.13 में दिया है । मापांक फलन को निरपेक्ष मान फलन भी कहते हैं।

(vi)

चिह्न फलन (Signum functions) प्रत्येक xER, के लिए

1, यदि x > 0

f (x) = 0, यदि x = 0

- 1, यदि x<0

द्वारा परिभाषित फलन f: RR चिह्न फलन कहलाता है। चिह्न फलन का प्रांत R है। परिसर समुच्चय (-1, 0, 1] है। आकृति 2.14 में चिह्न फलन का आलेख दर्शाया गया है। (vii) महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest integer functions) f(x) = [x], xER द्वारा परिभाषित फलन

x'←

J=-1←

f(x) = | यदि x

x

आकृ

f R→ R, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक का मान ग्रहण (धारण) करता है ऐसा फलन महत्तम पूर्णांक फलन कहलाता है।

[x], की परिभाषा से हम देख सकते हैं कि

[x] = 1 यदि - 1 [x] =

0 यदि 05 x<1

[x] =

1 यदि 1 ≤ x<2

[x] =

2 यदि 2≤ x < 3 इत्यदि

इस फलन का आलेख आकृति 2.15 में दर्शाया गया है।