प्रेरणा
प्रेरणा का अर्थ
प्रेरणा मूलतः एक सैद्धांतिक अवधारणा है जिसका उपयोग किसी व्यक्ति के व्यवहार या किसी कार्य के प्रति व्यक्ति की प्रतिक्रिया का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह एक व्यक्ति या वस्तु है जो किसी व्यक्ति को विशेष तरीके से व्यवहार करने के लिए प्रेरित करती है। साधारणतः, इसका उपयोग मनोवैज्ञानिक सिद्धांतों में, किसी व्यक्ति के व्यवहार के बारे में अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
गणितीय आगमन में प्रेरणा
गणितीय प्रेरण में अभिप्रेरणा का अर्थ है प्राकृतिक संख्याओं के दिए गए कथनों को इस प्रकार सिद्ध करना कि यदि यह एक के लिए सत्य है तो अन्य सभी संख्याओं के लिए भी सत्य हो।
गणितीय प्रेरण की अवधारणा के पीछे प्रेरणा क्या है?
यह यूक्लिड ही थे जिन्होंने धनात्मक पूर्णांकों के घटते क्रम की अवधारणा पेश की, जिसके बारे में उनका तर्क था कि यह परिमित होना चाहिए, जो उनके संख्याओं के सिद्धांत का आधार था। अपने बाद के काम में, उन्होंने इस अवधारणा को और अधिक विशेष रूप से यह प्रदर्शित करने के लिए लागू किया कि किसी भी मिश्रित संख्या को किसी अभाज्य संख्या द्वारा मापा जा सकता है। अपने प्रमाण में, यूक्लिड ने कहा कि संख्याओं का एक अनंत क्रम, जिनमें से प्रत्येक पिछली संख्या से छोटा है, किसी दी गई संख्या को नहीं माप सकता है - एक धारणा जिसे उन्होंने संख्याओं के दायरे में असंभव माना।
गणितीय प्रेरण को प्रेरित करना
गणितीय प्रेरण वास्तविक जीवन के उदाहरणों से प्रेरित होता है जैसे कि अगर हमारे पास छत तक पहुँचने के लिए सीढ़ी है तो आप कैसे साबित करेंगे कि आप इन सीढ़ियों का उपयोग करके शीर्ष पर पहुँच जाएँगे।
• सबसे पहले हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि क्या हम उस सीढ़ी के पहले चरण तक पहुँच सकते हैं, क्योंकि अगर हम पहले चरण तक पहुँचते हैं तो ही आप दूसरे, तीसरे और इसी तरह आगे बढ़ सकते हैं। और अगर आप पहले चरण तक नहीं पहुँचेंगे तो आप शीर्ष पर नहीं पहुँच सकते।
• दूसरी बात यह है कि अगर हम सीढ़ी के चरणों की गिनती करते हैं तो अगर हम मान लें कि हम चौथे चरण तक पहुँच सकते हैं तो हम पाँचवें चरण तक भी पहुँच सकते हैं।
चलिए इसे संख्याओं के संदर्भ में समझते हैं:
चलिए सीढ़ियों को , और इसी तरह आगे भी संख्याएँ देते हैं। मान लें कि , वें चरण तक पहुँचने का प्रस्ताव है। अब हमें यह सिद्ध करना है कि यदि हम किसी भी चरण पर चलते हैं तो हम वें चरण तक पहुँच सकते हैं।
गणितीय शब्दावली में यह कथन वैसा ही है जैसे "किसी भी के लिए, यदि सत्य है तो भी सत्य है।" इसके लिए पहले हमें पहले चरण तक पहुंचना होगा, इसलिए गणितीय शब्दावली में, यदि सत्य है, तभी हम कह सकते हैं कि "यदि सत्य है तो भी सत्य है" के लिए और तब हम पाते हैं कि भी सत्य है, जो तब इंगित करता है कि सत्य है, और इसी तरह, जो दर्शाता है कि सभी के लिए सत्य है। लेकिन यदि सत्य नहीं है, तो भी किसी भी के लिए सत्य नहीं हो सकता है।
परिचय
गणितीय चिंतन का एक आधारभूत सिद्धांत निगमनिक तर्क है। तर्कशास्त्र के अध्ययन से उद्धृत एक अनौपचारिक और निगमनिक तर्क का उदाहरण तीन कथनों में व्यक्त तर्क है:-
(a) सुकरात एक मनुष्य है।
(b) सभी मनुष्य मरणशील हैं, इसलिए,
(c) सुकरात मरणशील है।
यदि कथन (a) और (b) सत्य हैं, तो (c) की सत्यता स्थापित है। इस सरल उदाहरण को गणितीय बनाने के लिए हम लिख सकते हैं।
(i) आठ दो से भाज्य है।
(ii) दो से भाज्य कोई संख्या सम संख्या है, इसलिए,
(iii) आठ एक सम संख्या है।
गणित में, हम सम्पूर्ण आगमन का एक रूप जिसे गणितीय आगमन कहते हैं, प्रयुक्त करते हैं। गणितीय आगमन सिद्धांत के मूल को समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि एक पतली आयताकार टाइलों का समूह एक सिरे पर रखा है, जैसे चित्र-1 में प्रदर्शित है।
जब प्रथम टाइल को निर्दिष्ट दिशा में धक्का दिया जाता है तो सभी टाइलें गिर जाएँगी । पूर्णत: सुनिश्चित होने के लिए कि सभी टाइलें गिर जाएँगी, इतना जानना पर्याप्त है कि
(a) प्रथम टाइल गिरती है, और
(b) उस घटना में जब कोई टाइल गिरती है, उसकी उत्तरवर्ती अनिवार्यतः गिरती है। यही गणितीय आगमन सिद्धांत का आधार है।
