द्वितीय कोटि का अवकलज

अवकलज आपको किसी भी बिंदु पर फलन की ढलान प्रदान करता है। किसी फलन के पहले अवकलज के अवकलन को दूसरे क्रम के अवकलज के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले क्रम के अवकलज द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-क्रम अवकलज हमें फलन के आलेख के आकार की समझ प्रदान करता है। फलन $f(x)$ के दूसरे अवकलज को साधारणतः $f''(x)$ के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि $y=f,$तो इसे कभी-कभी $d^{2}y$ या $y^{2}$ या $y''(x)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

परिभाषा

किसी फलन का दूसरा-क्रम अवकलज विचाराधीन फलन के पहले अवकलज के अवकलज से अधिक कुछ नहीं है। परिणाम स्वरूप , दूसरे अवकलज की गणना करके, जो समय के संबंध में गति में परिवर्तन की दर है, कार की गति में बदलाव (समय के संबंध में यात्रा की गई दूरी का दूसरा अवकलज ) निर्धारित करना संभव है।

चलिए मान लेते हैं $y=f\cdot (x)$

${dy \over dx}=f'$ तब $(x)$

यदि $f'(x)$ अवकलनीय है, तो हम इसे '$x$' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग ${d \over dx}\left({\frac {dy}{dx}}\right)$ बन जाता है, जिसे सदैव $x$ के संबंध में $y$ का द्वितीय-क्रम अवकलज कहा जाता है।

अब, द्वितीय-क्रम अवकलज क्या है? द्वितीय-क्रम अवकलज किसी फलन के अवकलज का अवकलज होता है। इसे प्रथम-क्रम अवकलज से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फलन का अवकलज ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम अवकलज का अवकलन निकालते हैं। प्रथम-क्रम अवकलज को $f'(x)$ या ${dy \over dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-क्रम अवकलज को $f''(x)$ या ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ के रूप में लिखा जा सकता है

द्वितीय कोटि के अवकलज उदाहरण

प्रश्न यदि $f(x)=sin3x\ cos4x$ है, तो $f''(x)$ ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि, $f''({\frac {\pi }{2}})=25$

समाधान हमारे पास है,

$f(x)=sin3x\ cos4x\ or,f(x)={\frac {1}{2}}\cdot 2sin3x\ cos4x={\frac {1}{2}}(sin7x-sinx)$

$x$ के सापेक्ष दो बार क्रमिक रूप से अवकलन करने पर, हम पाते हैं,

$f'(x)={\frac {1}{2}}cos7x\cdot [{d \over dx}7x-cosx]={\frac {1}{2}}7cos7x-cosx$

और $f''(x)={\frac {1}{2}}[7(-sin7x){d \over dx}7x-(-sinx)]={\frac {1}{2}}-49sin7x+sinx$

इसलिए, $f''({\pi \over 2})={\frac {1}{2}}[-49sin(7.{\pi \over 2}+sin{\pi \over 2}={\frac {1}{2}}-49\cdot (-1)+1$

$sin7\cdot {\frac {\pi }{2}}=sin(7.{\frac {\pi }{2}}+0)=-cos0=-1$

${\frac {1}{2}}\times 50=25$ (सिद्ध हुआ)

प्राचलिक फलन के द्वितीय-क्रम अवकलज

हम प्राचलिक रूप में फलन के द्वितीय अवकलज को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय अवकलज निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, $t$ के संबंध में प्रथम अवकलज का अवकलन ज्ञात करें, फिर $t$ के संबंध में $x$ के अवकलज से भाग दें। यदि $x=x(t)$ और $y=y(t),$ तो द्वितीय-क्रम प्राचलिक रूप है:

${dy \over dx}={(\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!t) \over (\operatorname {d} \!x/\operatorname {d} \!t)}$ प्रथम अवकलज है।

${d^{2}y \over dx^{2}}={d \over dx(\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!x)}$ दूसरा अवकलज है।

${(\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!t) \over (\operatorname {d} \!x/\operatorname {d} \!t)}={d \over dt}\ {\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!x/\operatorname {d} \!t}$

टिप्पणी: सूत्र ${d^{2}y \over dx^{2}}={(\operatorname {d} ^{2}\!y/\operatorname {d} \!t^{2}) \over (\operatorname {d} ^{2}\!x/\operatorname {d} \!t^{2})}$ पूर्णतः गलत है।

स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फलन के दूसरे अवकलज द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है

• फलन $f(x)$ का $x$ पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि $f''(x)<0$ है।
• फलन $f(x)$का $x$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि $f''(x)>0$ है।
• यदि $f''(x)=0$ है, तो बिंदु $x$ के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।

द्वितीय क्रम अवकलज उदाहरण:

द्वितीय क्रम अवकलजों की श्रेष्ठ समझ प्राप्त करने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण : यदि $y=e^{(x^{3})}-3x^{4}$ है, तो ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ का मान ज्ञात करें।

समाधान: दिया गया है कि, $y=e^{(x^{3})}-3x^{4}$

जब हम इस समीकरण को $x$ के सापेक्ष विभेदित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

$\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!x=e^{(x^{3})}\times 3x^{2}-12x^{3}$

फिर, दिए गए फलन के द्वितीय क्रम अवकलज को निर्धारित करने के लिए, हम $x$ के सापेक्ष एक बार फिर प्रथम अवकलज को विभेदित करते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं।

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e(x^{3})\times 3x^{2}\times 3x^{2}+e(x^{3})\times 6x-36x^{2}$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=xe(x^{3})\times (9x^{3}+6)-36x^{2}$

यह वह समाधान है जिसकी आवश्यकता है।

निष्कर्ष

हम किसी वास्तविक चर के फलन में परिवर्तन की दर का पता उसके तर्क के संबंध में फलन के अवकलज को लेकर लगा सकते हैं। अवकलज को प्रतीक ${dy \over dx}$ द्वारा दर्शाया जाता है। अनुपात ${dy \over dx}$, $x$ के दिए गए मान के संबंध में $y$ में परिवर्तन की दर को इंगित करता है। फलन के आलेख पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का उपयोग फलन के अवकलज को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। दिए गए फलन के पहले क्रम के अवकलज के अवकलज को दूसरे क्रम के अवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह आलेख के आकार के साथ-साथ इसकी अवतलता के बारे में जानकारी प्रदान करता है।