माध्यमान प्रमेय

Mean Value Theoremमाध्य मान प्रमेय कलन में एक महत्वपूर्ण प्रमेय है। माध्य मान प्रमेय का पहला रूप 14वीं शताब्दी में भारत के केरल के गणितज्ञ परमेश्वर द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इसके अलावा, इसका एक सरल संस्करण 17वीं शताब्दी में रोले द्वारा प्रस्तावित किया गया था: रोले का प्रमेय, जो केवल बहुपदों के लिए सिद्ध किया गया था और कलन का हिस्सा नहीं था। अंत में, माध्य मान प्रमेय का वर्तमान संस्करण ऑगस्टिन लुइस कॉची द्वारा वर्ष 1823 में प्रस्तावित किया गया था।

माध्य मान प्रमेय बताता है कि दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले वक्र के लिए वक्र पर एक बिंदु होता है जहाँ स्पर्शरेखा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली छेदक रेखा के समानांतर होती है। रोले का प्रमेय इसी माध्य मान प्रमेय से लिया गया है।

माध्य मान प्रमेय क्या है?

माध्य मान प्रमेय बताता है कि किसी भी फ़ंक्शन f(x) के लिए जिसका ग्राफ़ दो दिए गए बिंदुओं (a, f(a)), (b, f(b)) से होकर गुजरता है, वक्र पर कम से कम एक बिंदु (c, f(c)) होता है जहाँ स्पर्शरेखा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली छेदिका के समानांतर होती है। माध्य मान प्रमेय को फ़ंक्शन f(x): [a, b] → R के लिए कैलकुलस में परिभाषित किया गया है, ताकि यह एक अंतराल में निरंतर और अवकलनीय हो।

फ़ंक्शन f(x) अंतराल [a, b] पर निरंतर है।

फ़ंक्शन f(x) अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है।

(a, b) में एक बिंदु c मौजूद है जैसे कि f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)

यहाँ हमने साबित किया है कि c पर स्पर्शरेखा बिंदुओं (a, f(a)), (b, f(b)) से गुजरने वाली छेदिका के समानांतर है। इस माध्य मान प्रमेय का उपयोग बंद अंतराल में किसी कथन को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। इसके अलावा, माध्य मान प्रमेय रोले के प्रमेय से प्राप्त होता है।

माध्य मान प्रमेय प्रमाण कथन: माध्य मान प्रमेय बताता है कि यदि कोई फ़ंक्शन f बंद अंतराल [a, b] पर निरंतर है, और खुले अंतराल (a, b) पर अवकलनीय है, तो अंतराल (a, b) में कम से कम एक बिंदु c मौजूद है, जैसे कि f '(c) [a, b] पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की औसत दर है और यह [a, b] पर छेदक रेखा के समानांतर है।

प्रमाण: मान लीजिए कि g(x) f(x) की छेदक रेखा है जो (a, f(a)) और (b, f(b)) से होकर गुजरती है। हम जानते हैं कि छेदक रेखा का समीकरण y - y1 = m (x - x1) है।

g(x) - f(a) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a) (x-a)

g(x) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a) (x-a) + f(a) ----->(1)

मान लीजिए h(x) f(x) - g(x) है

h(x) = f(x) - [[ f(b) - f(a) ] / (b - a) (x-a) + f(a)] ((1) से)

h(a) = h(b) = 0 और h(x) [a, b] पर सतत है और (a, b) पर अवकलनीय है।

इस प्रकार रोल्स प्रमेय को लागू करने पर, (a, b) में कुछ x = c है, जिससे h'(c) = 0.

h'(x) = f'(x) - [ f(b) - f(a) ] / (b - a)

(a, b) में कुछ c के लिए, h'(c) = 0. इस प्रकार

h'(c) = f'(c) - [ f(b) - f(a) ] / (b - a) = 0

f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)

इस प्रकार माध्य मान प्रमेय सिद्ध होता है.

नोट: यदि फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है, तो परिणाम मान्य नहीं हो सकता है, यहाँ तक कि खुले अंतराल में एक बिंदु पर भी.

माध्य मान प्रमेय का ग्राफिकल निरूपण

फ़ंक्शन f(x) का ग्राफिकल निरूपण माध्य मान प्रमेय को समझने में मदद करता है। यहाँ हम दो अलग-अलग बिंदुओं (a, f(a)), (b, f(b)) पर विचार करते हैं। इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा वक्र की छेदक रेखा है, जो वक्र को (c, f(c)) पर काटने वाली स्पर्शरेखा के समानांतर है। इन बिंदुओं को मिलाने वाले वक्र की छेदक रेखा का ढलान बिंदु (c, f(c)) पर स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है। हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न उस बिंदु पर ढलान है।

स्पर्शरेखा का ढलान = छेदक रेखा का ढलान

f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)

graph

यहाँ हम देखते हैं कि बिंदु (c, f(c)), दो बिंदुओं (a, f(a)), (b, f(b)) के बीच स्थित है।

Example

1. Example 1: Verify if the function f(x) = x² + 1 satisfies mean value theorem in the interval [1, 4]. If so, find the value of 'c'. Solution: The given function is f(x) = x² + 1. To verify the mean value theorem, the function f(x) = x² + 1 must be continuous in [1, 4] and differentiable in (1, 4). Since f(x) is a polynomial function, both of the above conditions hold true. The derivative f'(x) = 2x (power rule) is defined in the interval (1, 4) f(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2 f(4) = 4² + 1 = 16 + 1 = 17 f'(c) = [ f(4) - f(1) ] / (4 - 1) = (17 - 2) / (4 - 1) = 15/3 = 5 f'(c) = 5 2c = 5 c = 2.5 which lies in the interval (1, 4) Answer: The given function satisfies the mean value theorem and c = 2.5.

माध्य मान प्रमेय और रोले के प्रमेय के बीच अंतर

माध्य मान प्रमेय और रोले के प्रमेय दोनों ही फ़ंक्शन f(x) को इस तरह परिभाषित करते हैं कि यह अंतराल [a, b] में निरंतर है, और यह अंतराल (a, b) में अवकलनीय है। माध्य मान प्रमेय में, दो संदर्भित बिंदु (a, f(a)), (b, f(b)) अलग-अलग हैं और f(a) ≠ f(b) है। रोले के प्रमेय में, बिंदुओं को इस तरह परिभाषित किया जाता है कि f(a) = f(b)।

माध्य मान प्रमेय में c का मान इस तरह परिभाषित किया जाता है कि बिंदु (c, f(c)) पर स्पर्शरेखा की ढलान दो बिंदुओं को जोड़ने वाली छेदक की ढलान के बराबर होती है। रोले के प्रमेय में c का मान इस तरह परिभाषित किया जाता है कि बिंदु (c, f(c)) पर स्पर्शरेखा की ढलान x-अक्ष की ढलान के बराबर होती है। माध्य मान प्रमेय में ढलान f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a) है, और रोले प्रमेय में ढलान f'(c) = 0 के बराबर है।