सद्रत्नमाला में 'वर्गमूल
भूमिका
यहां हम सद्रत्नमाला में उल्लिखित एक संख्या का वर्गमूल जानेंगे।
श्लोक
शुद्धवर्गस्य मूलेन द्विघ्नेनावर्गतो हृतम् ।
तदादिमूलं तद्वर्गः शोध्यो वर्गात् पुनस्तथा ॥ १४ ॥
(अंतिम वर्ग स्थान से संभवतः अधिकतम संभावित वर्ग को घटाने के बाद) अगर वर्गमूल (पिछले वर्ग स्थान से घटाए गए अधिकतम वर्ग का) दोगुने हो, तो गैर-वर्ग वाले स्थान को इससे विभाजित करें।[1] भागफल के वर्ग को अगले वर्ग स्थान से कम करें। इसे दोहराएँ(वर्गमूल प्राप्त करने के लिए)।
जिस संख्या का वर्गमूल निर्धारित किया जाना होता है, उसे अंकों को एक पंक्ति में रखकर दर्शाया /चिह्नित किया जाता है। दाएं से बाएं गिनती के अनुसार विषम स्थान वर्ग स्थान होते हैं और सम स्थान गैर-वर्ग स्थान होते हैं, जैसा पहले कहा गया था। अंक या अंकों से अंतिम वर्ग(संख्या एक से नौ तक स्थान में ) के अधिकतम संभव वर्ग को घटाए और वर्गमूल को अलग स्थान में रखें। यह प्रथमफल (पहला परिणाम) होता है। बचे हुए शेष के दाएं में गैर-वर्ग स्थान के अंक को रखें और पहले परिणाम के दोगुने से विभाजित करें। यह द्वितीयफल (दूसरा परिणाम) होता है। शेष के दाएं में अगले वर्ग स्थान के अंक को रखें और इससे भागफल के वर्ग को घटा दें। नए शेष के दाएं में गैर-वर्ग स्थान के अंक को रखें और दूसरे परिणाम से दोगुने से विभाजित करें। यह तृतीयफल (तीसरा परिणाम) होता है। नए शेष के दाएं में गैर-वर्ग स्थान के अंक को रखें और इससे तीसरे परिणाम के द्वारा विभाजित करें। इसे तब तक दोहराया जाता है जब तक कि सभी अंक समाप्त न हो जाएं।
उदाहरण: 877969 का वर्गमूल
इंगित करें कि दाएँ से बाएँ विषम स्थान वर्ग (S) स्थान हैं और सम स्थान गैर-वर्ग (N) स्थान हैं।
ध्यान दें: प्रथमफल = पहला परिणाम; द्वितीयफल = दूसरा परिणाम; तृतीयफल = तीसरा परिणाम
| N | S | N | S | N | S | प्रक्रिया विवरण | परिणाम | |
| 8 | 7 | 7 | 9 | 6 | 9 | |||
| - 92 (9 - प्रथमफल ) | 8 | 1 | अंतिम वर्ग स्थान (87) से अधिकतम संभावित वर्ग (81 = 92) घटाएँ। यहाँ 9 प्रथमफल है। | 9 | ||||
| ÷ 2 X 9 = 18 | 18) | 6 | 7 | (3 (3 - द्वितीयफल) | अगले गैर-वर्ग स्थान (7) के अंक को शेषफल (6) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 67 है और इसे पहले परिणाम के दोगुने से विभाजित करें (9) = 2 X 9 = 18 | |||
| 5 | 4 | उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभावित संख्या 18 X 3 = 54 से घटाएं। यहां भागफल 3 है। 3 द्वितीयफल है | 9 3 | |||||
| 1 | 3 | 9 | अगले वर्ग के अंक (9) को शेषफल (13) के दायीं ओर रखें, अब संख्या 139 है | |||||
| - 32 | 9 | इसमें से भागफल (3) का वर्ग = 9 घटा दें | ||||||
| ÷ 2 X 93 = 186 | 1 | 3 | 0 | 6 | (7 (7- तृतीयफल) | अगले गैर-वर्ग स्थान के अंक (6) को नए शेषफल (130) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 1306 है और इसे दूसरे परिणाम (93) = 186 से दोगुने से विभाजित करें। | ||
| 1 | 3 | 0 | 2 | उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभावित संख्या 186 x 7 = 1302 से घटाएं। यहां भागफल 7 है। 7 तृतीयफल है। | 9 3 7 | |||
| 4 | 9 | अगले वर्ग के अंक (9) को शेषफल (4) के दायीं ओर रखें, अब संख्या 49 है | ||||||
| - 72 | 4 | 9 | इसमें से भागफल (7) का वर्ग = 49 घटा दें। | |||||
| 0 | ||||||||
चूँकि शेषफल शून्य है इसलिए दी गई संख्या एक पूर्ण वर्ग है।
877969 का वर्गमूल = 937
उदाहरण: 11943936 का वर्गमूल
इंगित करें कि दाएँ से बाएँ विषम स्थान वर्ग (S) स्थान हैं और सम स्थान गैर-वर्ग (N) स्थान हैं।
ध्यान दें: प्रथमफल = पहला परिणाम; द्वितीयफल = दूसरा परिणाम; तृतीयफल = तीसरा परिणाम
| N | S | N | S | N | S | N | S | प्रक्रिया विवरण | परिणाम | |
| 1 | 1 | 9 | 4 | 3 | 9 | 3 | 6 | |||
| - 32 (3 - प्रथमफल ) | 9 | अंतिम वर्ग स्थान (11) से अधिकतम संभावित वर्ग (9 = 32) घटाएं। यहाँ 3 प्रथमफल है। | 3 | |||||||
| ÷ 2 X 3 = 6 | 6) | 2 | 9 | (4 (4 - द्वितीयफल) | अगले गैर-वर्ग स्थान (9) के अंक को शेषफल (2) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 29 है और इसे पहले परिणाम (3) = 2 X 3 = 6 के दोगुने से विभाजित करें | |||||
| 2 | 4 | उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभव संख्या 6 X 4 = 24 से घटाएं। यहां भागफल 4 है। 4 द्वितीयफल है | 3 4 | |||||||
| 5 | 4 | अगले वर्ग के अंक (4) को शेषफल (5) के दायीं ओर रखें, अब संख्या 54 है | ||||||||
| - 42 | 1 | 6 | इसमें से भागफल (4) का वर्ग = 16 घटा दें। | |||||||
| ÷ 2 X 34 = 68 | 3 | 8 | 3 | (5 (5 - तृतीयफल) | अगले गैर-वर्ग स्थान (3) के अंक को नए शेषफल (38) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 383 है और इसे दूसरे परिणाम (34) = 68 के दोगुने से विभाजित करें | |||||
| 3 | 4 | 0 | उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभव संख्या 68 x 5 = 340 से घटाएं। यहां भागफल 5 है। 5 तृतीयफल है। | 3 4 5 | ||||||
| 4 | 3 | 9 | अगले वर्ग के अंक (9) को शेषफल (43) के दायीं ओर रखें, अब संख्या 439 है | |||||||
| - 52 | 2 | 5 | इसमें से भागफल (5) का वर्ग = 25 घटा दें। | |||||||
| ÷ 2 X 345 = 690 | 690) | 4 | 1 | 4 | 3 | (6 (6 - चतुर्थफल) | अगले गैर-वर्ग स्थान (3) के अंक को शेषफल (414) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 4143 है और इसे तीसरे परिणाम (345) = 690 के दोगुने से विभाजित | |||
| 4 | 1 | 4 | 0 | उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभावित संख्या 690 X 6 = 4140 से घटाएं। यहां भागफल 6 है। 6 चतुर्थफल है। | 3 4 5 6 | |||||
| 3 | 6 | अगले वर्ग के अंक (6) को शेषफल (3) के दायीं ओर रखें, अब संख्या 36 है | ||||||||
| - 62 | 3 | 6 | इसमें से भागफल (6) का वर्ग = 36 घटा दें। | |||||||
| 0 | ||||||||||
चूँकि शेषफल शून्य है इसलिए दी गई संख्या एक पूर्ण वर्ग है।
11943936 का वर्गमूल = 3456
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ "डॉ. एस. माधवन (2011)। शंकरवर्मन की सद्रत्नमाला। चेन्नई: द कुप्पुस्वामी शास्त्री रिसर्च इंस्टीट्यूट। पृष्ठ। 11-12।"(Dr. S, Madhavan (2011). Sadratnamālā of Śaṅkaravarman. Chennai: The Kuppuswami Sastri Research Institute. pp. 11-12.)
