सद्रत्नमाला में 'घन'

भूमिका

यहां हम सीखेंगे कि सद्रत्नमाला के अनुसार घन कैसे ज्ञात किया जाता है ।

श्लोक

ज्या हृत् सीरी भाति शरण्यः तत्पुरि गूढाङ्गः श्रीकृष्णः ।

धीरोऽसौ एकादिनवान्तं तुल्यत्र्यभ्यासः अत्र घनः स्यात् ॥ १५ ॥

कटपयादि संकेतन के अनुसार उपरोक्त श्लोक के संस्कृत वर्णमाला में संख्याएँ निर्दिष्ट करें।

ज् या	हृ त्	सी री	भा ति	श र ण्यः	तत् पु रि	गू ढा ङ्गः	श्री कृ ष्णः	धी रो सौ
ज् य् आ	ह् ॠ त्	स् ई र् ई	भ् आ त् इ	श् अ र् अ ण् यः	त त् प् उ र् इ	ग् ऊ ढ आ ङ् गः	श् र् ई क् ॠ ष् णः	ध् ई र् ओ स् औ
- 1 -	8 - -	7 - 2 -	4 - 6 -	5 - 2 - - 1	6 - 1 - 2 -	3 - 4 - - 3	- 2 - 1 - - 5	9 - 2 - 7 -
1	8	72	46	521	612	343	215	927
1	8	27	64	125	216	343	512	729	अङ्कानाम् ‌वामतो गतिः संख्याएँ दाएँ से बाएँ की ओर जाती हैं

अनुवाद

एक, आठ, सत्ताईस, चौंसठ, एक सौ पच्चीस, दो सौ सोलह, तीन सौ तैंतालीस, पांच सौ बारह, सात सौ उनतीस, एक नौ तक की संख्याओं के घन हैं। तीन (समान संख्याओं) का गुणनफल, घन (उस संख्या का) होता है।

श्लोक

घनेऽथ तन्मूलवर्गतदादि त्रिवधे ततः ।

आदिवर्गान्त्यत्रिवधे युतेष्वङ्केष्वथो घनः॥ १६ ॥

अनुवाद

(अंतिम अंक के) घन में (दाईं ओर) अंतिम अंक के वर्ग का तीन गुना और शेष अंक का गुणनफल जोड़ें। फिर (दाईं ओर अगले स्थान पर) अंतिम अंक के तीन गुना का गुणनफल और शेष भाग के वर्ग को जोड़ें और फिर शेष भाग का घन जोड़ें (दाईं ओर के अगले स्थान पर)। यह घन है (सभी अंक प्राप्त होने तक दोहराया जाता है)।

उदाहरण: 35 का घन

यहां मानी गई संख्या 35 है, 3 अंतिम अंक है और शेष अंक 5 है। घनीकरण की विधि लागू करने पर।

अंतिम अंक (33) का घन = 27	2	7
अंतिम अंक (3) के वर्ग का तीन गुना शेष अंक (5) से गुणा करें 3 X 32 X 5 = 135. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 5, 7 के एक स्थान बगल में हो	1	3	5
शेष अंक (5) के वर्ग का तीन गुना अंतिम अंक (3) से गुणा करें 3 X 52 X 3 = 225. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 5, 5 के एक स्थान बगल में हो		2	2	5
शेष अंक (53) का घन = 125. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 5, 5 के एक स्थान बगल में हो			1	2	5
35 का घन = 42875 (प्रत्येक स्तंभ का मान जोड़ने पर)	4	2	8	7	5

35 का घन = 42875

उदाहरण: 123 का घन

यहां मानी गई संख्या 12 है, 1 अंतिम अंक है और शेष अंक 2 है। घनीकरण की विधि लागू करने पर।

अंतिम अंक (13) का घन = 1	1
अंतिम अंक (1) के वर्ग का तीन गुना शेष अंक (2) से गुणा करें 3 X 12 X 2 = 6. अगले स्थान पर रखा जाएगा		6
शेष अंक (2) के वर्ग का तीन गुना अंतिम अंक (1) से गुणा करें 3 X 22 X 1 = 12. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 2, 6 के एक स्थान बगल में हो		1	2
शेष अंक (23) का घन = 8. अगले स्थान पर रखा जाएगा				8
12 का घन = 1728 (प्रत्येक स्तंभ का मान जोड़ने पर)	1	7	2	8

अब 123 के शेष अंक (12 के बाद का अंक,अर्थात 3) लें और घनीकरण की विधि लागू करें। मानी गई संख्या 123 है। यहां अंतिम अंक 12 है और शेष अंक 3 है।

अंतिम अंक (123) का घन = 1728	1	7	2	8
अंतिम अंक (12) के वर्ग का तीन गुना शेष अंक (3) से गुणा करें 3 X 122 X 3 = 1296. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 6, 8 के एक स्थान बगल में हो		1	2	9	6
शेष अंक (3) के वर्ग का तीन गुना अंतिम अंक (12) से गुणा करें 3 X 32 X 12 = 324. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 4, 6 के एक स्थान बगल में हो				3	2	4
शेष अंक (33) का घन = 27. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 7, 4 के एक स्थान बगल में हो						2	7
123 का घन = 1860867(प्रत्येक स्तंभ का मान जोड़ने पर)	1	8	6	0	8	6	7

123 का घन = 1860867

उदाहरण: 234 का घन

यहां मानी गई संख्या 23 है, 2 अंतिम अंक है और शेष अंक 3 है। घनीकरण की विधि लागू करने पर।

अंतिम अंक (23) का घन = 8	8
अंतिम अंक (2) के वर्ग का तीन गुना शेष अंक (3) से गुणा करें 3 X 22 X 3 = 36. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 6, 8 के एक स्थान बगल में हो	3	6
शेष अंक (3) के वर्ग का तीन गुना अंतिम अंक (2) से गुणा करें 3 X 32 X 2 = 54. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 4, 6 के एक स्थान बगल में हो		5	4
शेष अंक (33) का घन = 27. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 7, 4 के एक स्थान बगल में हो			2	7
23 का घन = 12167(प्रत्येक स्तंभ का मान जोड़ने पर)	12	1	6	7

अब 234 के शेष अंक (23 के बाद का अंक,अर्थात 4) लें और घनीकरण की विधि लागू करें। मानी गई संख्या 234 है। यहां अंतिम अंक 23 है और शेष अंक 4 है।

अंतिम अंक (233) का घन = 12167	1	2	1	6	7
अंतिम अंक (23) के वर्ग का तीन गुना शेष अंक (4) से गुणा करें 3 X 232 X 4 = 6348. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 8, 7 के एक स्थान बगल में हो			6	3	4	8
शेष अंक (4) के वर्ग का तीन गुना अंतिम अंक (23) से गुणा करें 3 X 42 X 23 = 1104. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 4, 8 के एक स्थान बगल में हो				1	1	0	4
शेष अंक (43) का घन = 64. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 4, 4 के एक स्थान बगल में हो							6	4
234 का घन = 12812904 (प्रत्येक स्तंभ का मान जोड़ने पर)	1	2	8	1	2	9	0	4

234 का घन = 12812904

उदाहरण: 5678 का घन

यहां मानी गई संख्या 56 है, 5 अंतिम अंक है और शेष अंक 6 है। घनीकरण की विधि लागू करने पर।

अंतिम अंक (53) का घन = 125	1	2	5
अंतिम अंक (5) के वर्ग का तीन गुना शेष अंक (6) से गुणा करें 3 X 52 X 6 = 450. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 0, 5 के एक स्थान बगल में हो		4	5	0
शेष अंक (6) के वर्ग का तीन गुना अंतिम अंक (5) से गुणा करें 3 X 62 X 5 = 540. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 0, 0 के एक स्थान बगल में हो			5	4	0
शेष अंक (63) का घन = 216. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 6, 0 के एक स्थान बगल में हो				2	1	6
56 का घन = 175616 (प्रत्येक स्तंभ का मान जोड़ने पर)	1	7	5	6	1	6

अब 5678 के शेष अंक (56 के बाद का अंक,अर्थात 7) लें और घनीकरण की विधि लागू करें। मानी गई संख्या 567 है। यहां अंतिम अंक 56 है और शेष अंक 7 है।

अंतिम अंक (563) का घन = 175616	1	7	5	6	1	6
अंतिम अंक (56) के वर्ग का तीन गुना शेष अंक (7) से गुणा करें 3 X 562 X 7 = 65856. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 6, 6 के एक स्थान बगल में हो			6	5	8	5	6
शेष अंक (7) के वर्ग का तीन गुना अंतिम अंक (56) से गुणा करें 3 X 72 X 56 = 8232. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 2, 6 के एक स्थान बगल में हो					8	2	3	2
शेष अंक (73) का घन = 343. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 3, 2 के एक स्थान बगल में हो							3	4	3
567 का घन = 182284263 (प्रत्येक स्तंभ का मान जोड़ने पर)	1	8	2	2	8	4	2	6	3

अब 5678 के शेष अंक (567 के बाद का अंक,अर्थात 8) लें और घनीकरण की विधि लागू करें। मानी गई संख्या 5678 है। यहां अंतिम अंक 567 है और शेष अंक 8 है।

अंतिम अंक (5673) का घन = 182284263	1	8	2	2	8	4	2	6	3
अंतिम अंक (567) के वर्ग का तीन गुना शेष अंक (8) से गुणा करें 3 X 5672 X 8 = 7715736. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 6, 3 के एक स्थान बगल में हो				7	7	1	5	7	3	6
शेष अंक (8) के वर्ग का तीन गुना अंतिम अंक (567) से गुणा करें 3 X 82 X 567 = 108864. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 4, 6 के एक स्थान बगल में हो						1	0	8	8	6	4
शेष अंक (83) का घन = 512. अगले स्थान पर इस प्रकार रखा जाए कि 2, 4 के एक स्थान बगल में हो										5	1	2
5678 का घन = 183056925752 (प्रत्येक स्तंभ का मान जोड़ने पर)	1	8	3	0	5	6	9	2	5	7	5	2

5678 का घन = 183056925752

यह भी देखें

Cube in Sadratnamālā