समांतर श्रेढ़ी में 'श्रेणी का योग'

भूमिका

एक समांतर श्रेढ़ी या अंकगणितीय अनुक्रम (AP) संख्याओं का एक अनुक्रम है, जैसे कि किसी भी सफल पद से उसके पूर्ववर्ती पद का अंतर पूरे अनुक्रम में स्थिर रहता है। यह निरंतर अंतर उस समांतर श्रेणी का सामान्य अंतर कहलाता है। उदाहरण के लिए,अनुक्रम 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . सामान्य अंतर '2' के साथ एक समांतर श्रेढ़ी है।

श्लोक

इष्टं व्येकं दलितं सपूर्वमुत्तरगुणं समुखं मध्यम् ।

इष्टगुणितमिष्टधनं त्वथवाद्यन्तं पदार्धहतम् ॥

अनुवाद

दिए गए पदों की संख्या को एक से कम करें, फिर दो से विभाजित करें, फिर पूर्ववर्ती पदों की संख्या (यदि कोई हो) से बढ़ाएँ, फिर सामान्य अंतर से गुणा करें, और फिर (संपूर्ण) श्रृंखला के पहले पद से बढ़ाएँ: परिणाम (पदों की दी गई संख्या का) अंकगणितीय माध्य है। इसे दिए गए पदों की संख्या से गुणा करने पर दिए गए पदों का योग प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, पहले और अंतिम पदों (श्रृंखला या आंशिक श्रृंखला जिसका सारांश निकाला जाना है) के योग को पदों की संख्या के आधे से गुणा करें।

मान लीजिए एक समांतर श्रेणी $a+(a+d)+(a+2d)+..........$ है

यहाँ a = प्रथम पद; d = सामान्य अंतर; n = पदों की संख्या; p = पिछले पदों की संख्या

उपरोक्त नियम के अनुसार

$The\ arithmetic\ mean\ of\ the\ n\ terms=M=(a+pd)+(a+(p+1)d)+......(a+(p+n-1)d)$

$=a+\left({\frac {n-1}{2}}+p\right)d$

$The\ sum\ of\ the\ n\ terms=no.\ of\ terms\times Arithmetic\ mean$

$=n\times M$

$=n\left[a+\left({\frac {n-1}{2}}+p\right)d\right]$

$The\ nth\ term=a+(n-1+p)\times d$

विशेष रूप से जब p = पिछले पदों की संख्या = 0

$The\ arithmetic\ mean\ of\ the\ n\ terms=M=a+(a+d)+......(a+(n-1)d)$

$=a+\left({\frac {n-1}{2}}\right)d$

$The\ sum\ of\ the\ n\ terms=S=no.\ of\ terms\times Arithmetic\ mean$

$=n\times M$

$=n\left[a+\left({\frac {n-1}{2}}\right)d\right]$

$The\ nth\ term=a+(n-1)\times d$

वैकल्पिक रूप से, एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग जिसमें प्रथम पद A और अंतिम पद L है

$The\ sum\ of\ the\ n\ terms=S={\frac {n}{2}}(A+L)$

उदाहरण

उदाहरण 1

श्रेणी 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37 के लिए प्रथम पद, सार्व अंतर, पदों की संख्या, अंतिम पद, श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए।

प्रथम पद = A	1
सार्व अंतर = d	5-1 =4
पदों की संख्या = n	10
अंतिम पद = L	37
श्रेणी का योग = S	$={\frac {n}{2}}(A+L)={\frac {10}{2}}(1+37)=5(38)=190$

उदाहरण 2

एक निश्चित श्रेणी के लिए प्रथम पद 2 है, सामान्य अंतर 3 है, पदों की संख्या 5 है। श्रेणी का माध्य और योग ज्ञात कीजिए।

यहाँ प्रथम पद a = 2, सार्व अंतर d = 3, पदों की संख्या n = 5.माध्य M $=a+\left({\frac {n-1}{2}}\right)d=2+\left({\frac {5-1}{2}}\right)3=8$

$The\ sum\ of\ the\ n\ terms=no.\ of\ terms\times Arithmetic\ mean$

$=n\times M=5\times 8=40$

उदाहरण 3

एक निश्चित श्रेणी के लिए प्रथम पद 7 है, सामान्य अंतर 11 है, पदों की संख्या 25 है। अंतिम पद, द्वितीयांत पद पद और 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

यहाँ प्रथम पद a = 7, सार्व अंतर d = 11, पदों की संख्या n = 25.

$The\ nth\ term(n=25)=a+(n-1)\times d=7+(25-1)\times 11=7+24\times 11=271$

द्वितीयांत पद = पदों की संख्या - 1 = 25 - 1 = 24

$The\ nth\ term(n=24)=a+(n-1)\times d=7+(24-1)\times 11=7+23\times 11=260$

20वाँ पद :

$The\ nth\ term(n=20)=a+(n-1)\times d=7+(20-1)\times 11=7+19\times 11=216$

यह भी देखें

Sum of Series in an Arithmetic Progression