AP के प्रथम n पदों का योग

पिछली इकाई में हमने समांतर श्रेणी के n^th पद ( n^th term) का मान निकालना सीख, हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेणी में (n terms) n पद होते हैं और यदि हमें उसे समांतर श्रेणी के ,प्रथम n पदों का योग अर्थात ( sum of first n terms of an AP), निकालना है तो हमें एक सूत्र की जरूरत होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को जोड़ेंगे तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा । कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी, इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले n terms को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग

S_n= n/2[ 2a + (n-1)d]

S_{n = समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग}

a = पहला पद ( first term)

n = पदों की संख्या (number of terms)

d = सार्व अंतर (common difference)

उदाहरण 1)-

1. समान्तर श्रेढ़ी : 1, 10, 19, 28 ………… के पहले 16 पदों का योग ज्ञात करो ।

हल – यहाँ पहला पद (a) first term = 1

सार्व अंतर (d) common difference = 10 – 1 = 9

पदों की संख्या (n) number of terms = 16, 

  S₁₆ ( पहले 16 पदों का योग) =?

पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा, S_n= n/2[ 2a + (n-1)d]

मान रखने पर,   S₁₆ = 16/2[2⨯1 + (16 – 1)9]

 S₁₆ = 8[2 + 15⨯9]

  S₁₆ = 8[2 + 135]

  S₁₆ = 8[137]

  S₁₆ = 1096

इसलिए, पहले 16 पदों का योग 1096 है।  

उदाहरण 2)-

किसी समांतर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है, तथा उसका पहला पद 10 है ,उसका 25^thपद ज्ञात करें?

हल – यहाँ पहला पद (a) first term = 10

  S₁₄ ( पहले 14 पदों का योग) = 1505

पदों की संख्या (n) number of terms = 14

पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा, S_n= n/2[ 2a + (n-1)d]

मान रखने पर, 1505= 14/2 [ 2 ⨯ 10 + ( 14-1)d]

1505= 7 ( 20+ 13d)

215= 20+ 13d

13d=195

d=15 ( common difference)

समांतर श्रेणी के n वाँ पद का सूत्र द्वारा,    a_n = a + (n – 1)d

25^thपद= a + (25-1)d

= 10+ 24 ⨯ 15

= 370

समांतर श्रेणी का 25^th पद 370 है।

अभ्यास प्रश्न

1. समांतर श्रेणी का योग ज्ञात करें 4-1/n, 7-2/n, 10-3/n, .................. n पदों तक ।
2. समांतर श्रेणी के a₁₂ तथा सर्व अंतर d का मान क्रमशः 37 और 3 है , पहला पद , S₁₂ ज्ञात करें ।