आव्यूहों पर संक्रियाएँ

आव्यूहों पर संक्रियाओं में आव्यूहों के जोड़, घटाव और गुणन के अंकगणितीय संक्रियाएँ सम्मिलित हैं। इसके अतिरिक्त, हम आव्यूहों का स्थानान्तरण और व्युत्क्रम भी पा सकते हैं, जिसे आव्यूहों पर संक्रियाओं के रूप में भी सम्मिलित किया जा सकता है। आव्यूहों पर संक्रियाएँ, दो या दो से अधिक आव्यूहों को एक आव्यूह में संयोजित करने में मदद करते हैं।

आव्यूहों का जोड़

आव्यूहों को जोड़ना मूलभूत संचालन में से एक है जो आव्यूहों पर किया जाता है। आव्यूहों के संगत अवयवों को जोड़कर एक ही क्रम के दो या दो से अधिक आव्यूहों को जोड़ा जा सकता है। यदि $A=[a_{ij}]$ और $B=[b_{ij}]$ एक ही क्रम के दो आव्यूह हैं तो आव्यूह $A$ और $B$ का योग $A+B=[a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]$ है:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&.....&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&.....&a_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}&a_{m2}&.....&a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$ + ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&.....&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&.....&a_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}&a_{m2}&.....&a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$ $=$

${\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&.....&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&.....&a_{2n}+b_{2n}\\a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&.....&a_{3n}+b_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&.....&a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$

उदाहरण:

$A={\begin{bmatrix}2&4&6\\8&10&12\\14&16&18\end{bmatrix}}$ $B={\begin{bmatrix}1&3&5\\7&9&11\\13&15&17\end{bmatrix}}$

$A+B={\begin{bmatrix}2+1&4+3&6+5\\8+7&10+9&12+11\\14+13&16+15&18+17\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&7&11\\15&19&23\\27&31&35\end{bmatrix}}$

आव्यूहों का घटाव

समान क्रम के दो आव्यूहों को आव्यूहों के संगत अवयवों को घटाकर घटाया जा सकता है। यदि $A=[a_{ij}]$ और $B=[b_{ij}]$ एक ही क्रम के दो आव्यूह हैं तो $A$ और $B$ का आव्यूहों का घटाव $A-B=[a_{ij}]-[b_{ij}]=[a_{ij}-b_{ij}]$ है:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&.....&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&.....&a_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}&a_{m2}&.....&a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$ _ ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&.....&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&.....&a_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}&a_{m2}&.....&a_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$ $=$

${\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&.....&a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&.....&a_{2n}-b_{2n}\\a_{31}-b_{31}&a_{32}-b_{32}&.....&a_{3n}-b_{3n}\\.&.&.....&.\\.&.&.....&.\\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&.....&a_{mn}-b_{mn}\end{bmatrix}}_{m\times n}$

उदाहरण:

$A={\begin{bmatrix}2&4&6\\8&10&12\\14&16&18\end{bmatrix}}$ $B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}2-1&4-2&6-3\\8-4&10-5&12-6\\14-7&16-8&18-9\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}$

आव्यूहों का गुणन

$A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&j\end{bmatrix}}_{m\times n}$ $B={\begin{bmatrix}k&m\\n&p\\q&r\end{bmatrix}}_{n\times p}$

$A\times B=C={\begin{bmatrix}ak+bn+cq&am+bp+cr\\dk+en+fq&dm+ep+fr\\gk+hn+jq&gm+hp+jr\end{bmatrix}}_{m\times p}$

उदाहरण:

$A={\begin{bmatrix}2&4&6\\8&10&12\\14&16&18\end{bmatrix}}$ $B={\begin{bmatrix}1&2\\4&5\\7&8\end{bmatrix}}$

$A\times B=C={\begin{bmatrix}2\times 1+4\times 4+6\times 7&2\times 2+4\times 5+6\times 8\\8\times 1+10\times 4+12\times 7&8\times 2+10\times 5+12\times 8\\14\times 1+16\times 4+18\times 7&14\times 2+16\times 5+18\times 8\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}2+16+42&4+20+48\\8+40+84&16+50+96\\14+64+126&28+80+144\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}60&72\\132&162\\204&252\end{bmatrix}}$