त्रिभुज के गुण

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प्रमेय 1: समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं

Fig 1 - Isosceles triangle
चित्र 1- समद्विबाहु त्रिभुज

प्रमाण: चित्र 1 में दिखाए गए समद्विबाहु त्रिभुज पर विचार करें, जहाँ है।

हमें यह सिद्ध करना होगा कि भुजाओं और के सम्मुख कोण समान अर्थात् हैं।

हम पहले का एक समद्विभाजक बनाते हैं और इसे नाम देते हैं।

अब और में हमारे पास है,

                                                      (दिया हुआ)

                               (संरचना से)

                                                           (दोनों में समान)

अत:,                             (SAS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)

इसलिए,                                     (CPCT द्वारा)

अतः सिद्ध हुआ।


Theorem 2: The sides opposite to equal angles of a triangle are equal.

Proof: In a triangle shown in fig 1, base angles are equal and we need to prove that or is an isosceles triangle.

Construct a bisector which meets the side at right angles.

अब और में हमारे पास है,

                                       (संरचना से)

                                                      (समान भुजाएँ)

                               (संरचना से)

अत:,                                  (ASA सर्वांगसमता मानदंड द्वारा)

इसलिए,                                             (CPCT द्वारा)

अथवा समद्विबाहु है।