एक बिंदु की रेखा से दूरी

यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुसार, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी को किसी दिए गए बिंदु से अनंत सरल रेखा पर स्थित बिंदु तक की सबसे छोटी दूरी माना जा सकता है। बिंदु को रेखा पर निकटतम बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड की लंबाई उस बिंदु से सबसे छोटी दूरी होती है, जो बिंदु से रेखा तक की लंबवत दूरी होती है। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना करने का सूत्र कई रूपों में व्युत्पन्न और व्यक्त किया जा सकता है। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी जानना विभिन्न वास्तविक जीवन की स्थितियों में उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए, दो वस्तुओं जैसे दो पेड़ों के बीच की दूरी ज्ञात करना।

इस लेख में, हम व्युत्पन्न और हल किए गए उदाहरणों का उपयोग करके एक रेखा से एक बिंदु की दूरी कैसे ज्ञात करें, इसका अध्ययन करेंगे।

परिभाषा

एक बिंदु और रेखा के बीच की दूरी उनके बीच की सबसे छोटी दूरी होती है। यह बिंदु से रेखा पर स्थित बिंदु तक जाने के लिए आवश्यक न्यूनतम लंबाई होती है। न्यूनतम लंबाई की इस दूरी को रेखा के लंबवत रेखाखंड के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक रेखा $L$ और एक बिंदु $X$ पर विचार करें जो $L$ पर स्थित नहीं है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

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हम एक रेखा से बिंदु की दूरी कैसे माप सकते हैं जब बिंदु रेखा पर नहीं स्थित है? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक सीधी रेखा के समीकरण और दूरी सूत्र को याद करें। इसके अलावा, एक त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जो $B$ पर समकोण है:

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ध्यान दें कि चूँकि $\angle B=90^{\circ }$ है, यह त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है, जिसका अर्थ है कि $AC$ (कर्ण) सबसे बड़ी भुजा है। यह हमेशा सत्य होगा। कर्ण $AC$ हमेशा $A$ से $BC$ पर पड़ने वाले लंब से बड़ा होगा, जो $AB$ है। अपने बिंदु और रेखा पर वापस आते हुए, आइए $X$ से $L$ पर एक लंब गिराएँ:

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$Y$ इस लंब का पैर है, जबकि $Z$ $L$ पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि $XY$ हमेशा $XZ$ से छोटा होगा, चाहे $Z$ रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा $L$ से बिंदु $X$ की दूरी की परिभाषा है: $X$ से $L$ पर गिराए गए लंब की लंबाई।

रेखा से बिंदु की दूरी की व्युत्पत्ति

आइए दूरी सूत्र और त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके रेखा से बिंदु की दूरी मापने का सूत्र निकालें।

$XY$-तल में एक रेखा $L$ पर विचार करें और $K(x_{1},y_{1})$ रेखा $L$ से $d$ दूरी पर स्थित कोई भी बिंदु है। इस रेखा को $Ax+By+C=0$ द्वारा दर्शाया जाता है। रेखा ‘$d$’ से बिंदु की दूरी $K$ से $L$ तक खींचे गए लंब की लंबाई है। $x$ और $y$-अवरोधन को क्रमशः $\left({\frac {-C}{A}}\right)$ और $\left({\frac {-C}{B}}\right)$ के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

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रेखा $L$ क्रमशः $x$ और $y$-अक्षों को बिंदु $B$ और $A$ पर मिलती है। $KJ$ बिंदु $K$ की लंबवत दूरी है जो बिंदु $J$ पर के आधार $AB$ से मिलती है। दिए गए तीन बिंदुओं $K$, $B$ और $A$ के लिए निर्देशांक $K(x_{1},y_{1})$$,B(x_{2},y_{2}),$और $A(x_{3},y_{3})$ के रूप में दिए जा सकते हैं। यहाँ,$(x_{2},y_{2})=(\left({\frac {-C}{A}}\right),0)$और $(x_{3},y_{3})=(0,\left({\frac {-C}{B}}\right))$।

हमें लंबवत दूरी $KJ=d$ ज्ञात करनी है

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया गया है: क्षेत्रफल $(\vartriangle KAB)={\frac {1}{2}}$आधार $\times$ लंबवत ऊँचाई

क्षेत्रफल $(\vartriangle KAB)={\frac {1}{2}}AB\times KJ$

$\Rightarrow KJ=2\times$ क्षेत्रफल ${\frac {(\vartriangle KAB)}{AB}}\rightarrow (1)$

निर्देशांक ज्यामिति में, क्षेत्रफल $(\vartriangle KAB)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:

क्षेत्र $A={\frac {1}{2}}|x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})|$

$={\frac {1}{2}}|x_{1}(0-({\frac {-C}{B}}))+({\frac {-C}{A}})(({\frac {-C}{B}})-y_{1})+0(y_{1}-0)|$

$={\frac {1}{2}}|({\frac {C}{B}})\times x_{1}-{\frac {C}{A}}(({\frac {-C}{B}})-y_{1})+0|$

$={\frac {1}{2}}|({\frac {C}{B}})\times x_{1}-{\frac {C}{A}}{\frac {(-C-By_{1})}{B}}|$

$={\frac {1}{2}}|({\frac {C}{B}})\times x_{1}+{\frac {C^{2}}{AB}}+{\frac {(BCy_{1})}{AB}}|$

$={\frac {1}{2}}|({\frac {C}{B}})\times x_{1}+({\frac {C}{A}})\times y_{1}+{\Bigl (}{\frac {C^{2}}{AB}}{\Bigr )}|$

$={\frac {1}{2}}|C{\Bigl (}{\frac {x_{1}}{B}}+{\frac {y_{1}}{A}}+{\frac {C}{AB}}{\Bigr )}|$

व्यंजक को $AB$ से गुणा करें और भाग दें, हमें मिलता है

$={\frac {1}{2}}|C{\Bigl (}{\frac {(ABx_{1})}{AB^{2}}}+{\frac {(ABy_{1})}{BA^{2}}}+{\frac {(ABC^{2})}{(AB)^{2}}}{\Bigr )}|$

$={\frac {1}{2}}|{\frac {CAx_{1}}{AB}}+{\frac {CBy_{1}}{AB}}+{\frac {C^{2}}{AB}}|$

$={\frac {1}{2}}\mid {\frac {C}{AB}}\mid \cdot \mid {Ax_{1}+By_{1}+C}\mid \rightarrow (2)$

दूरी सूत्र के अनुसार, निर्देशांक $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ वाली रेखा $AB$ की दूरी की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$AB=((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2})^{\frac {1}{2}}$

यहाँ, $A(x_{1},y_{1})=A(0,{\frac {-C}{B}})$ और $B(x_{2},y_{2})=B({\frac {-C}{A}},0)$

$AB=(({\Bigl (}{\frac {-C}{A}}{\Bigr )}^{2}-0)+(0-{\Bigl (}{\frac {-C}{B}}{\Bigr )}^{2}))^{\frac {1}{2}}$

$AB={\Bigl (}{\Bigl (}{\frac {C}{A}}{\Bigr )}^{2}+{\Bigl (}{\frac {C}{B}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}$

दूरी, $AB=\mid {\frac {C}{AB}}\mid (A^{2}+B^{2})^{\frac {1}{2}}\rightarrow (3)$

$(1)$ में $(2)$ और $(3)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

लंब $KJ$ की दूरी $=d={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+C|}{(A^{2}+B^{2})^{\frac {1}{2}}}}$

अतः, बिंदु$(x_{1},y_{1})$ से रेखा $Ax+By+C=0$ तक की दूरी $={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt {(A^{2}+B^{2})}}}$

इस सूत्र में अंश को निरपेक्ष मान चिह्न के साथ संलग्न किया जाना चाहिए, क्योंकि दूरी एक धनात्मक मान होनी चाहिए और$Ax_{1},By_{1},C$ के कुछ संयोजन ऋणात्मक संख्या उत्पन्न कर सकते हैं।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

यहाँ कुछ बिंदुओं की सूची दी गई है जिन्हें रेखा से बिंदु की दूरी का अध्ययन करते समय याद रखना चाहिए:

• रेखा से बिंदु की दूरी मापने के लिए सूत्र निकालने के लिए, हम दूरी सूत्र और त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करते हैं।
• यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुसार, किसी बिंदु से रेखा तक की दूरी को किसी दिए गए बिंदु से अनंत सीधी रेखा पर किसी बिंदु तक की सबसे छोटी दूरी माना जा सकता है।
• बिंदु को रेखा पर निकटतम बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड की लंबाई उस बिंदु से सबसे छोटी दूरी होती है, जो बिंदु से रेखा तक की लंबवत दूरी होती है।