निश्चित समकलनों के कुछ गुणधर्म
इस लेख में हम निश्चित समकलनों के कुछ महत्वपूर्ण गुणों और प्रमाणों की व्युत्पत्ति के बारे में जानेंगे ताकि इस अवधारणा को गहराई से समझने का प्रयास करेंगे । समाकलन एक समाकल का अनुमान है। यह अवकलन की विपरीत प्रक्रिया है। समाकलन गणित की अवधारणाओं का उपयोग विस्थापन, आयतन, क्षेत्रफल और कई अन्य राशियों के मानों को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। समाकलन दो प्रकार के होते हैं, निश्चित समाकलन और अनिश्चित समाकलन। इस लेख में, हम निश्चित समाकलन और उनके गुणों के बारे में जानेंगे, जो उनके आधार पर समाकलन समस्याओं को हल करने में सहायता करेंगे।
निश्चित समाकलन परिभाषा
एक समाकलन को निश्चित समाकलन तभी कहा जाता है जब इसकी ऊपरी और निचली सीमाएँ हों। गणित में, कई निश्चित समाकलन सूत्र और गुण हैं जिनका प्रायः उपयोग किया जाता है। एक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए, आपको स्वतंत्र चर की निर्दिष्ट ऊपरी और निचली सीमा पर समाकलन के मानों के बीच अंतर ज्ञात करना होगा और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:
नीचे निश्चित समाकल के सभी मूल गुणों की सूची दी गई है। यह आपको उदाहरणों के साथ निश्चित समाकल के कुछ गुणों को आसानी से संशोधित करने में सहायता करता है।
यहाँ सम और विषम के लिए निश्चित समाकल के गुण दिए गए हैं। इन गुणों के साथ, आप निश्चित समाकल गुण समस्याओं को हल कर सकते हैं।
निश्चित समाकल के गुणधर्म
Proofs of Definite Integrals Proofs
Property 1:
f(x)dx =
f(t)dt
A simple property where you will have to only replace the alphabet x with t.
Property 2:
f(x)g(x) = -
f(x)g(x) , also
f(x)g(x) = 0
Consider, m =
f(x)g(x)
If the anti-derivative of f is f’, the second fundamental theorem of calculus is applied in order to get m = f’ ( k ) - f’ ( j ) = - f′( j ) - f′( k ) =
xdx
Also, if j = k, then m = f’ ( k ) - f’ ( j ) = - f′( j ) - f′( j ) = 0. Therefore,
f(x)g(x) = 0
Property 3:
f(x)dx =
f(x)dx +
f(x)dx
If the anti-derivative of f is f’, the second fundamental theorem of calculus is applied in order to get
f(x)dx = f’ ( k ) - f’ ( j ) . . . . . ( 1 )
f(x)dx = f’ ( l ) - f’ ( j ) . . . . . ( 2 )
f(x)dx = f’ ( k ) - f’ ( l ) . . . . . ( 3 )
Adding equation ( 2) and ( 3 ), you get:
f(x)dx +
f(x)dx = f’ ( l ) - f’ ( j ) + f’ ( k ) - f’ ( l ) = f’ ( k ) - f’ ( k ) =
f(x)dx
Property 4:
f(x)g(x) =
f(j + k - x)g(x)
Let, m = ( j + k - x ), or x = ( j + k – m), so that dt = – dx … (4)
Also, note that when x = j, m = k and when x = k, m = j. So,
wil be replaced by
when we replace x by m. Therefore,
f(x)dx = -
f ( j + k - m ) dm … from equation (4)
From property 2, we know that
f ( x ) dx = -
f ( x ) dx. Use this property, to get
f ( x ) dx = -
f ( j + k - m ) dx
Now use property 1 to get
f ( x ) dx =
f ( j + k – x ) dx
Property 5:
f(x)g(x) =
f(k - x)g(x)
Let, m = ( j - m ) or x = ( k – m ), so that dm = – dx…(5) Also, observe that when x = 0, m = j and when x = j, m = 0. So,
will be replaced by
when we replace x by m. Therefore,
f ( x ) dx = -
f ( j - m ) dx from equation ( 5 )
From Property 2, we know that
f ( x ) dx = -
f ( x ) dx. Using this property , we get
f(x)dx =
f ( j - m ) dm
Next, using Property 1, we get
f ( x ) dx =
f( j - x ) dx
Property 6:
f(x)dx =
f(x)dx +
f(2k - x)dx.....If f(2k - x) = f(x)
From property 3, we know that
f(x)g(x) = -
f(x)g(x), also ,
f(x)g(x) = 0
Therefore, by applying this property to
f(x)dx , we got
f(x)dx =
f(x)dx +
f(x)dx , and after assuming
f(x)dx = L1 and
f(x)dx = L2
f(x)dx = L1 + L2 …(1)
Now, letting, y = (2k – x) or x = (2p – y), so that dy = -dx
Also, note that when x = p, then y = p, but when x = 2k, y = 0. Hence, L2 can be written as
L2 =
f(x)dx =
f(2k - y)dy , and
From the Property 2, we know that
f(x)g(x) = -
f(x)g(x)
Using this property to the equation of L2, we get
L2 = -
f(2k - y)dy
Now, by using Property 1, we get
L2 =
f(2k - x)dx , using this value of L2 in the equation (1)
f(x)dx = L1 + L2 =
f(x)dx +
f(2k - x)dx
Hence, proving the property 6 of the definite Integrals
