अवकल समीकरण

एक समीकरण जिसमें किसी अज्ञात फलन का अवकल होता है, उसे अवकल समीकरण कहा जाता है। किसी बिंदु पर फलन के परिवर्तन की दर फलन के अवकलनों द्वारा परिभाषित की जाती है। एक अवकल समीकरण इन अवकलनों को अन्य फ़ंक्शनों से जोड़ता है। अवकल समीकरणों का उपयोग मुख्य रूप से जीव विज्ञान, भौतिकी, इंजीनियरिंग और कई क्षेत्रों में किया जाता है। अवकल समीकरण का मुख्य उद्देश्य उन समाधानों का अध्ययन करना है जो समीकरणों और समाधानों के गुणों को संतुष्ट करते हैं। आइए परिभाषा, प्रकार, अवकल समीकरण को हल करने के तरीके, अवकल समीकरण के कोटी और घात , अवकल समीकरणों के प्रकार, वास्तविक दुनिया के उदाहरणों और अभ्यास समस्याओं के साथ चर्चा करें।

परिभाषा

अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें किसी अज्ञात फलन का कम से कम एक अवकल होता है, या तो एक साधारण अवकल या आंशिक व्युत्पन्न। मान लीजिए कि $x$ के संबंध में फलन $y$ के परिवर्तन की दर $y$ के व्युत्क्रमानुपाती है, हम इसे $dy/dx=k/y$ के रूप में व्यक्त करते हैं।

कलन में, एक अवकल समीकरण एक समीकरण है जिसमें स्वतंत्र चर (चर) के संबंध में आश्रित चर के अवकल (व्युत्पन्न) उपस्थित होते हैं। अवकल परिवर्तन की दर के अलावा कुछ भी नहीं दर्शाता है, और अवकल समीकरण हमें किसी अन्य मात्रा में परिवर्तन के संबंध में बदलती मात्रा के बीच संबंध प्रस्तुत करने में मदद करता है। $y=f(x)$ एक फलन हो जहाँ $y$ एक आश्रित चर है, f एक अज्ञात फलन है, $x$ एक स्वतंत्र चर है। यहाँ कुछ अवकल समीकरण दिए गए हैं।

• $(dy/dx)=sin\ x$
• $(d^{2}y/dx^{2})+k^{2}y=0$
• $(d^{2}y/dt^{2})+(d^{2}x/dt^{2})=x$
• $(d^{3}y/dx^{3})+x(dy/dx)-4xy=0$
• $(rdr/d\theta )+cos\theta =5$

अवकल समीकरणों का क्रम

किसी अवकल समीकरण का कोटी समीकरण में आने वाले अवकल का उच्चतम कोटी होता है। निम्नलिखित अवकल समीकरणों पर विचार करें,

$dy/dx=e^{x},(d^{4}y/dx^{4})+y=0,(d^{3}y/dx^{3})+x^{2}(d^{2}y/dx^{2})=0$

उपरोक्त अवकल समीकरण उदाहरणों में, उच्चतम अवकल क्रमशः प्रथम, चतुर्थ और तृतीय कोटी के हैं।

प्रथम कोटी अवकल समीकरण

आप पहले उदाहरण में देख सकते हैं, यह प्रथम कोटी अवकल समीकरण है जिसकी घात 1 के बराबर है। अवकल के रूप में सभी रैखिक समीकरण प्रथम कोटी में हैं। इसमें केवल प्रथम अवकल है जैसे $dy/dx,$ जहाँ $x$ और $y$ दो चर हैं और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: $dy/dx=f(x,y)=y'$

द्वितीय-कोटी अवकल समीकरण

वह समीकरण जिसमें द्वितीय-कोटी अवकल उपस्थित है, द्वितीय-कोटी अवकल समीकरण है। इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है; $d/dx(dy/dx)=d^{2}y/dx^{2}=f''(x)=y''$

अवकल समीकरणों की घात

यदि कोई अवकल समीकरण बहुपद रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो उच्चतम कोटी अवकल की अभिन्न शक्ति जो प्रकट होती है उसे अवकल समीकरण की घात कहा जाता है। अवकल समीकरण की घात समीकरण में मौजूद उच्चतम कोटी अवकल की शक्ति है। अवकल समीकरण की घात ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक अवकल के सूचकांक के रूप में एक सकारात्मक पूर्णांक की आवश्यकता होती है। उदाहरण:

$({dy \over dx^{4}})^{3}+4({dy \over dx})^{7}+6y=5cos3x$

यहाँ अवकल समीकरण का कोटी 4 है और घात 3 है।

ध्यान दे : यदि कोई अवकल समीकरण किसी बहुपद समीकरण के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जिसमें अग्रणी पद के रूप में उच्चतम कोटी अवकल हो, तो अवकल समीकरण की वह घात परिभाषित नहीं होती है।

अवकल समीकरणों के प्रकार

अवकल समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया जाता है:

• साधारण अवकल समीकरण
• आंशिक अवकल समीकरण

उदाहरण

उदाहरण: वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ को स्पर्श करने वाली सभी सरल रेखाओं का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान: मान लीजिए $y=mx+c$ वृत्त को स्पर्श करने वाली सभी सरल रेखाओं का समीकरण है।

दिया गया है : वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ है $---------->(1)$

वृत्त की स्पर्श रेखा $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ है

$c=r{\sqrt {(1+m^{2})}}$

हम ज्ञात है कि $y=mx+c---------->(2)$

$y=mx+r{\sqrt {(1+m^{2})}}---------->(3)$

$y-mx=r{\sqrt {(1+m^{2})}}$

$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें $dy/dx-m=0$ प्राप्त होता है

$dy/dx=m$

इसे समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर

$y-(dy/dx\cdot x)=r{\sqrt {(1+(dy/dx)^{2}}})$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

  $y^{2}-(dy/dx\cdot x)^{2}=[r{\sqrt {(1+(dy/dx)^{2}}})]^{2}$

$[y-x(dy/dx)]^{2}=r^{2}(1+(dy/dx))^{2}$ आवश्यक अवकल समीकरण है।

उत्तर: वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ को स्पर्श करने वाली सभी सरल रेखाओं का अवकल समीकरण $[y-x(dy/dx)]^{2}=r^{2}(1+(dy/dx))^{2}$ है।

अवकल समीकरणों के अनुप्रयोग

वास्तविक जीवन में व्यापक अवकल समीकरणों के अनुप्रयोगों का उपयोग बिजली की गति या प्रवाह, पेंडुलम की तरह किसी वस्तु की आगे-पीछे गति, ऊष्मागतिकी अवधारणाओं को समझाने के लिए किया जाता है। साथ ही, चिकित्सा की दृष्टि से, इनका उपयोग आलेखीय प्रतिनिधित्व में रोगों की वृद्धि की जाँच करने के लिए किया जाता है। अवकल समीकरण जनसंख्या वृद्धि या रेडियोधर्मी क्षय से जुड़े गणितीय प्रतिमान का वर्णन करने में उपयोगी होते हैं।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

• हम अवकलनों के लिए निम्नलिखित संकेतन $(dy/dx)=y',(d^{2}y/dx^{2})=y'',(d^{3}y/dx^{3})=y'''$ का उपयोग कर सकते हैं।
• अवकल समीकरण का कोटी और घात सदैव धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।