घन - भारती कृष्ण तीर्थ

भूमिका

यहां हम सीखेंगे कि दो अंकों की संख्या का घन कैसे ज्ञात किया जाता है। हम सूत्र का उपयोग करेंगे ।

"आनुरूप्येण "

"अनुपातिक रूप से"

विस्तृत प्रकीयाओं की व्याख्या नीचे की गई है।

मान लीजिए कि a और b दो अंक हैं।

प्रक्रिया 1 : हम चार संख्याओं को ज्यामितीय अनुपात में सटीक अनुपात में लिखेंगे।

पहला पद $a^{3}$ होगा, सर्वनिष्ट/सार्व अनुपात = ${\frac {b}{a}}$

दूसरा पद $a^{3}\ X\ {\frac {b}{a}}=a^{2}\ X\ b$ होगा

तीसरा पद $a^{2}b\ X\ {\frac {b}{a}}=a\ X\ b^{2}$ होगा

चौथा पद $ab^{2}\ X\ {\frac {b}{a}}=b^{3}$ होगा

	पहला पद	मध्य पद (दूसरा पद , तीसरा पद)		चौथा पद
प्रक्रिया 1	$a^{3}$	$a^{2}\ X\ b$	$a\ X\ b^{2}$	$b^{3}$
प्रक्रिया 2	$a^{3}$	मध्य पदों का दोगुना $2(a^{2}\ X\ b)$	मध्य पदों का दोगुना $2(a\ X\ b^{2})$	$b^{3}$
प्रक्रिया 3	$a^{3}$	दोनो मध्य पदों को जोड़ें $a^{2}\ X\ b+2(a^{2}\ X\ b)$	दोनो मध्य पदों को जोड़ें $a\ X\ b^{2}+2(a\ X\ b^{2})$	$b^{3}$
अंतिम प्रक्रिया	$a^{3}$	$3(a^{2}\ X\ b)$	$3(a\ X\ b^{2})$	$b^{3}$

यह और कुछ नहीं, के सूत्र का विस्तार है $(a+b)^{3}$ जहाँ a और b संख्या के दो अलग-अलग अंक हैं। इससे घनों की गणना बहुत तेज और आसान हो जाती है । इसे नीचे दिए गए उदाहरणों के माध्यम से समझाया जाएगा।

प्राकृतिक संख्या के घन

1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	8	27	64	125	216	343	512	729

उदाहरण : 23³

यहाँ a = 2 , b = 3 , ऊपर वर्णित अंतिम प्रक्रिया का उपयोग करना।

$a^{3}$	$3(a^{2}\ X\ b)$	$3(a\ X\ b^{2})$	$b^{3}$
23 = 8	3 X ( 22 X 3) = 3 (4 X 3)	3 X (2 X 32) = 3 X (2 X 9)	33 = 27
8	36	54	27
8	36	54	7 रखें और 2 को आगे स्थानांतरित करें
8	36	54 + 2 को आगे स्थानांतरित करें	7
8	36	56	7
8	36	6 रखें और 5 को आगे स्थानांतरित करें	7
8	36 + 5 को आगे स्थानांतरित करें	6	7
8	41	6	7
8	1 रखें और 4 को आगे स्थानांतरित करें	6	7
8 + 4 को आगे स्थानांतरित करें	1	6	7
12	1	6	7

उत्तर : 23³ = 12167

उदाहरण: 12³

यहाँ a = 1 , b = 2 , ऊपर वर्णित अंतिम प्रक्रिया का उपयोग करते हुए ।

$a^{3}$	$3(a^{2}\ X\ b)$	$3(a\ X\ b^{2})$	$b^{3}$
13 = 1	3 X ( 12 X 2) = 3 (1 X 2)	3 X (1 X 22) = 3 X (1 X 4)	23 = 8
1	6	12	8
1	6	2 रखें और 1 को आगे स्थानांतरित करें	8
1	6 + 1 को आगे स्थानांतरित करें		8
1	7	2	8

उत्तर : 12³ = 1728

उदाहरण: 25³

यहाँ a = 2, b = 5, ऊपर वर्णित अंतिम प्रक्रिया का उपयोग करते हुए ।

$a^{3}$	$3(a^{2}\ X\ b)$	$3(a\ X\ b^{2})$	$b^{3}$
23 = 8	3 X ( 22 X 5) = 3 (4 X 5)	3 X (2 X 52) = 3 X (2 X 25)	53 = 125
8	60	150	125
8	60	150	5 रखें और 12 को आगे स्थानांतरित करें
8	60	150 + 12 को आगे स्थानांतरित करें	5
8	60	162	5
8	60	2 रखें और 16 को आगे स्थानांतरित करें	5
8	60 + 16 को आगे स्थानांतरित करें	2	5
8	76	2	5
8	6 रखें और 7 को आगे स्थानांतरित करें	2	5
8 + 7 को आगे स्थानांतरित करें	6	2	5
15	6	2	5

उत्तर : 25³ = 15625