सद्रत्नमाला में 'वर्ग'

भूमिका

यहाँ हम सद्रत्नमाला में वर्णित संख्या के वर्ग को जानेंगे ।

श्लोक 11

तुल्योभयहतिर्वर्ग एकतः क्रमशः पदैः ।

का वा धेनुस्तटे शुभ्रा तुङ्गो धावेद् वृषो यदि ॥

दो समान संख्याओं का गुणनफल उस संख्या का वर्ग होता है।^[1]

इस श्लोक में एक से नौ तक एक अंक वाली संख्याओं का वर्ग दिया गया है। अंकन की कटपयादी प्रणाली का उपयोग करके संख्याओं को निरूपित किया जाता है।

का	वा	धे नुः	त टे	शु रा	तु गः	धा वे	वृ षः	य दि
1	4	9 0	6 1	5 2	6 3	9 4	4 6	1 8
1	4	9	16	25	36	49	64	81

एक से नौ तक की संख्याओं का वर्ग क्रमशः एक, चार, नौ, सोलह, पच्चीस, छत्तीस, उनतालीस, चौंसठ और इक्यासी है।

श्लोक 12

स्थाप्योऽन्त्यवर्गः शेषोऽपि द्विघ्नान्त्यघ्नो निजोपरि ।

उपान्त्यादिम् अथोत्सार्य भूयोऽप्येवं क्रिया कृतिः ॥ १२ ॥

अंतिम अंक (वर्ग की पंक्ति में) के वर्ग को रखने के बाद, शेष भाग, अंतिम अंक के दोगुने से गुणा करके, जोड़ा जाता है (वर्ग के दाईं ओर पहले से ही रखा गया है)। यह प्रक्रिया शेष अंकों (संख्या के) के साथ दोहराई जाती है।

एक से अधिक अंकों की संख्या का वर्ग करना बाएँ से दाएँ किया जाता है। सबसे बाईं ओर के अंक को अंत्य (अंतिम) कहा जाता है और इसके दाईं ओर के अंक को उपांत्य (अंतिम से अगला) कहा जाता है।अंत्य को वर्ग में लिया जाता है और उसे स्थान पर रखा जाता है। शेष भाग को बाएं से दाएं तक अंतिम अंक के दोगुने से गुणा किया जाता है और यह वर्ग के पहले स्थान से शुरू होने वाले पहले स्थान का हिस्सा बनकर रखा जाता है।यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि सभी अंक समाप्त नहीं हो जाते।

अंकों के वर्ग बायें से दायें एकान्तर स्थानों पर जोड़े जाते हैं। इन स्थानों को वर्गस्थान (वर्ग स्थान) कहा जाता है। वर्गस्थानों के बीच के स्थानों को अवर्गस्थान (गैर-वर्ग स्थान) कहा जाता है। इसलिए वर्गों को वर्गस्थान में रखा जाता है और अंतिम अंकों के दोगुने का गुणनफल और शेष भागों को वर्गस्थान में रखा जाता है।

विस्तृत प्रक्रिया को निम्नलिखित उदाहरणों के साथ समझाया गया है।

उदाहरण: 12 का वर्ग

यहाँ

अंत्य	उपांत्य
1	2

सभी प्रक्रियाएँ नीचे से ऊपर तक कि जाती हैं।

प्रक्रिया 1:

		वर्गस्थान	अवर्गस्थान
A	2 X 1 X 2		4	अंत्य(1) के दुगुने को शेष अंक(2) से गुणा करने पर = 2 X 1 X 2 = 4 और ऊपर लिखें 2
A	1²	1		अंत्य(1) का वर्ग = अंत्य(1) के ऊपर 1 रखा गया है
	दी गई संख्या	1	2	दी गई संख्या यहां लिखी है

प्रक्रिया 2: उपरोक्त प्रक्रिया को दी गई संख्या के बाद के अंकों के लिए दोहराया जाता है। यहाँ पर परवर्ती संख्या 2 है।

		वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान
		1	4	4	A से प्रारंभ करते हुए B तक, प्रत्येक स्तंभ में मानों को जोड़ें
B	2²			4	अंत्य(2) का वर्ग =अंत्य(2) के ऊपर स्थान 4 है
A	2 X 1 X 2		4
A	1²	1
	दी गई संख्या	1	2
	प्रथम निष्कासन		1	2	संख्या को दाईं ओर एक स्थान पर ले जाएं और अंत्य (1) को काट दें। यहाँ अंत्य 2 होगा

इस स्तिथि पर, हम दी गई संख्या के अंतिम अंक प्राप्त कर लिए हैं। इसलिए प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। A से प्रारंभ करते हुए B तक, प्रत्येक स्तंभ में मानों को जोड़ें। इस प्रकार हमे 12 का वर्ग = 144 प्राप्त होगा ।

उदाहरण: 123 का वर्ग

यहाँ

अंत्य	उपांत्य
1	2	3

सभी प्रक्रियाएँ नीचे से ऊपर तक कि जाती हैं।

प्रक्रिया 1:

		वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान
A	2 X 1 X 3			6	अंत्य(1) के दुगुने को शेष(3) अंक से गुणा करें = 2 X 1 X 3 = 6 और ऊपर लिखें 3
	2 X 1 X 2		4		अन्त्य(1) के दुगुने को शेष(2) अंक से गुणा करें = 2 X 1 X 2 = 4 और ऊपर लिखें 2
	1²	1			अंत्य(1) का वर्ग = अंत्य(1) के ऊपर 1 रखा गया है
	दी गई संख्या	1	2	3	दी गई संख्या यहां लिखी है

प्रक्रिया 2: उपरोक्त प्रक्रिया को दी गई संख्या के बाद के अंकों के लिए दोहराया जाता है। यहाँ पर परवर्ती संख्या 2 है

		वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान	अवर्गस्थान
B	2 X 2 X 3			1	2	अंत्य(2) के दुगुने को शेष(3) अंक से गुणा करें = 2 X 2 X 3 = 12 और 3 के ऊपर इस प्रकार लिखें कि 2, 3 के ऊपर हो
B	2²			4		अंत्य(2) का वर्ग = अंत्य(2) के ऊपर 4 रखा गया है
A	2 X 1 X 3			6
	2 X 1 X 2		4
	1²	1
	दी गई संख्या	1	2	3
	प्रथम निष्कासन		1	2	3	संख्या को दाईं ओर एक स्थान पर ले जाएं और अंत्य (1) को काट दें। यहां 2 अंत्य होंगे और 3 उपांत्य होंगे

प्रक्रिया 3: उपरोक्त प्रक्रिया को दी गई संख्या के बाद के अंकों के लिए दोहराया जाता है। यहाँ पर परवर्ती संख्या 3 है

		वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान
		1	5	1	2	9	A से प्रारंभ करते हुए C तक, प्रत्येक स्तंभ में मानों को जोड़ें
		1	4 + 1 को आगे स्थानांतरित करें	1	2	9
		1	4	11 1 रखें और 1 को आगे स्थानांतरित करें	2	9
C	3²					9	अंत्य(3) का वर्ग = अंत्य(3) के ऊपर 9 रखा गया है
B	2 X 2 X 3			1	2
B	2²			4
A	2 X 1 X 3			6
	2 X 1 X 2		4
	1²	1
	दी गई संख्या	1	2	3
	प्रथम निष्कासन		1	2	3
	द्वितीय निष्कासन			1	2	3	संख्या को दाईं ओर एक स्थान पर ले जाएं और अंत्य (3) को काट दें। यहांअंत्य 4 होगा

इस स्तिथि पर, हम दी गई संख्या के अंतिम अंक प्राप्त कर लिए हैं। इसलिए प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। A से प्रारंभ करते हुए C तक, प्रत्येक स्तंभ में मानों को जोड़ें। इस प्रकार हमे 123 का वर्ग = 15129 प्राप्त होगा ।

उदाहरण: 1234 का वर्ग

यहाँ

अंत्य	उपांत्य
1	2	3	4

सभी प्रक्रियाएँ नीचे से ऊपर तक कि जाती हैं।

प्रक्रिया 1:

		वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान	अवर्गस्थान
A	2 X 1 X 4				8	अंत्य(1) के दुगुने को शेष(4) अंक से गुणा करें = 2 X 1 X 4 = 8 और ऊपर लिखें 4
	2 X 1 X 3			6		अंत्य(1) के दुगुने को शेष(3) अंक से गुणा करें) = 2 X 1 X 3 = 6 और ऊपर लिखें 3
	2 X 1 X 2		4			अंत्य(1) के दुगुने को शेष(2) अंक से गुणा करें = 2 X 1 X 2 = 4 और ऊपर लिखें 2
	1²	1				अंत्य(1) का वर्ग = अंत्य(1) के ऊपर 1 रखा गया है
	दी गई संख्या	1	2	3	4	दी गई संख्या यहां लिखी है

प्रक्रिया 2: उपरोक्त प्रक्रिया को दी गई संख्या के बाद के अंकों के लिए दोहराया जाता है। यहाँ पर परवर्ती संख्या 2 है

		वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान
B	2 X 2 X 4				1	6	अंत्य(2) के दुगुने को शेष(4) अंक से गुणा करें = 2 X 2 X 4 = 16 और 4 के ऊपर इस प्रकार लिखें कि 6, 4 के ऊपर हो
	2 X 2 X 3			1	2		अंत्य(2) के दुगुने को शेष(3) अंक से गुणा करें = 2 X 2 X 3 =12 और 3 के ऊपर इस प्रकार लिखें कि 2, 3 के ऊपर हो
	2²			4			अंत्य(2) का वर्ग = अंत्य(2) के ऊपर 4 रखा गया है
A	2 X 1 X 4				8
	2 X 1 X 3			6
	2 X 1 X 2		4
	1²	1
	दी गई संख्या	1	2	3	4
	प्रथम निष्कासन		1	2	3	4	संख्या को दाईं ओर एक स्थान पर ले जाएं और अंत्य (1) को काट दें। यहां 2 अंत्य होंगे और 3 उपांत्य होंगे

प्रक्रिया 3: उपरोक्त प्रक्रिया को दी गई संख्या के बाद के अंकों के लिए दोहराया जाता है। यहाँ पर परवर्ती संख्या 3 है

		वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान	अवर्गस्थान
	2 X 3 X 4					2	4	अंत्य(3) के दुगुने को शेष(4) अंक से गुणा करें = 2 X 3 X 4 = 24 और 4 के ऊपर इस प्रकार लिखें कि 4, 4 के ऊपर हो
C	3²					9		अंत्य(3) का वर्ग = अंत्य(3) के ऊपर 9 रखा गया है
B	2 X 2 X 4				1	6
	2 X 2 X 3			1	2
	2²			4
A	2 X 1 X 4				8
	2 X 1 X 3			6
	2 X 1 X 2		4
	1²	1
	दी गई संख्या	1	2	3	4
	प्रथम निष्कासन		1	2	3	4
	द्वितीय निष्कासन			1	2	3	4	संख्या को दाईं ओर एक स्थान पर ले जाएं और अंत्य (2) को काट दें। यहां 3 अंत्य होंगे और 4 उपांत्य होंगे

प्रक्रिया 4: उपरोक्त प्रक्रिया को दी गई संख्या के बाद के अंकों के लिए दोहराया जाता है। यहाँ पर परवर्ती संख्या 4 है

		वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान	अवर्गस्थान	वर्गस्थान
		1	5	2	2	7	5	6	A से प्रारंभ करते हुए D तक, प्रत्येक स्तंभ में मानों को जोड़ें
		1	4 + 1 को आगे स्थानांतरित करें	2	2	7	5	6
		1	4	12 2 रखें और 1 को आगे स्थानांतरित करें	2	7	5	6
		1	4	11 + 1 को आगे स्थानांतरित करें	2	7	5	6
		1	4	11	12 2 रखें और 1 को आगे स्थानांतरित करें	7	5	6
		1	4	11	11 + 1 को आगे स्थानांतरित करें	7	5	6
		1	4	11	11	17 7 रखें और 1 को आगे स्थानांतरित करें	5	6
D							1	6	अंत्य(4) का वर्ग = 16,अंत्य (4) के ऊपर इस प्रकार रखा जाता है कि 6, 4 से ऊपर हो
C	2 X 3 X 4					2	4
C	3²					9
B	2 X 2 X 4				1	6
	2 X 2 X 3			1	2
	2²			4
A	2 X 1 X 4				8
	2 X 1 X 3			6
	2 X 1 X 2		4
	1²	1
	दी गई संख्या	1	2	3	4
	प्रथम निष्कासन		1	2	3	4
	द्वितीय निष्कासन			1	2	3	4
	तृतीय निष्कासन				1	2	3	4	संख्या को दाईं ओर एक स्थान पर ले जाएं और अंत्य (3) को काट दें। यहां अंत्य 4 होगा

इस स्तिथि पर, हम दी गई संख्या के अंतिम अंक प्राप्त कर लिए हैं। इसलिए प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। A से प्रारंभ करते हुए D तक, प्रत्येक स्तंभ में मानों को जोड़ें। इस प्रकार हमे 1234 का वर्ग = 1522756 प्राप्त होगा ।

श्लोक 13

खण्डद्वयहतिर्द्विघ्नी खण्डद्विकृतियुत् कृतिः ।

यद्वाभीष्टोनाढ्यवधोऽभीष्टवर्गयुता कृतिः ॥ १३ ॥

दो भागों का गुणनफल (जिसमें एक संख्या विभाजित होती है), दो से गुणा किया जाता है और भागों के वर्गों के योग में जोड़ा जाता है, वर्ग (उस संख्या का) होता है। या किसी मनमानी संख्या के वर्ग का योग और दी गई संख्या और मनमानी संख्या के योग और अंतर का गुणनफल (भी) वर्ग (उस संख्या का) होता है।

वर्ग ज्ञात करने की दो और विधियों को नीचे समझाया गया है।

प्रथम विधि

पहली विधि में, दी गई संख्या को दो भागों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। इन भागों के वर्गों का योग जिसमें इन भागों के गुणनफल का दुगुना जोड़ा जाता है, वर्ग होता है। यदि a वह संख्या है, जिसे दो संख्याओं b और c के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो

$a^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc$

उदाहरण: 75 का वर्ग

a = 75 जिसे 70 + 5 के रूप में व्यक्त किया गया है,यहाँ b = 70, c = 5

$a^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc$

$75^{2}=(70+5)^{2}=70^{2}+5^{2}+2\ X\ 70\ X\ 5$

$=70(70+10)+25$

$=70(80)+25$

$=5625$

उदाहरण: 25 का वर्ग

a = 25 जिसे 20 + 5 के रूप में व्यक्त किया गया है,यहाँ b = 20, c = 5

$a^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc$

$25^{2}=(20+5)^{2}=20^{2}+5^{2}+2\ X\ 20\ X\ 5$

$=20(20+10)+25$

$=20(30)+25$

$=625$

द्वितीय विधि

दूसरी विधि के अनुसार, एक मनमानी संख्या को दी गई संख्या में जोड़ा और घटाया जाता है, और इन योगों और अंतर का गुणनफल पाया जाता है। दी गई संख्या का वर्ग प्राप्त करने के लिए इस गुणनफल में मनमाना संख्या का वर्ग जोड़ें। यदि a दी गई संख्या है और k कोई मनमाना संख्या है, तो

$a^{2}=(a+k)(a-k)+k^{2}$

उदाहरण: 96 का वर्ग

$a^{2}=(a+k)(a-k)+k^{2}$

a = 96 , k = 4

$96^{2}=(96+4)(96-4)+4^{2}$

$=(100)(92)+16$

$=9216$

उदाहरण: 952 का वर्ग

$a^{2}=(a+k)(a-k)+k^{2}$

a = 952 , k = 48

$952^{2}=(952+48)(952-48)+48^{2}$

$=(1000)(904)+2304$

$=906304$

यह भी देखें

Square in Sadratnamālā

संदर्भ

↑ "डॉ. एस. माधवन (2011)। शंकरवर्मन की सद्रत्नमाला। चेन्नई: द कुप्पुस्वामी शास्त्री रिसर्च इंस्टीट्यूट। पृष्ठ। 8-10।"(Dr. S, Madhavan (2011). Sadratnamālā of Śaṅkaravarman. Chennai: The Kuppuswami Sastri Research Institute. pp. 8–10.)

[1] "डॉ. एस. माधवन (2011)। शंकरवर्मन की सद्रत्नमाला। चेन्नई: द कुप्पुस्वामी शास्त्री रिसर्च इंस्टीट्यूट। पृष्ठ। 8-10।"(Dr. S, Madhavan (2011). Sadratnamālā of Śaṅkaravarman. Chennai: The Kuppuswami Sastri Research Institute. pp. 8–10.)

[1]