लीलावती में 'पाँच का नियम'

श्लोक सं.97

प्रमाणकालेन हतं प्रमाणं विमिश्रकालेन हतं फलं च ।

स्वयोगभक्ते च पृथक् स्थिते च मिश्राहते मूल कलान्तरे स्तः ॥९७॥

साधारण ब्याज और मूलधन की गणना करने के लिए मानक मूलधन (100) को मानक अवधि (1 माह या 1 वर्ष) से गुणा करें।[1] इसके बाद, दी गई अवधि को दी गई ब्याज दर से गुणा करें। दोनो गुणनफलों a, और b को अलग रखें। मूलधन प्राप्त करने के लिए a को राशि से गुणा करें और इसे (a+b) से विभाजित करें। इसी प्रकार, राशि को b से गुणा करने पर (a+b) से विभाजित करने पर ब्याज प्राप्त होता है।

टिप्पणी: A = राशि, P = मूलधन, I = ब्याज, R = ब्याज की दर, Y = अवधि। P₀ = मानक मूलधन (आमतौर पर 100)

Y₀ = मानक अवधि (1 वर्ष या 1 माह)।

$P={\frac {A\ X\ P_{0}\ X\ Y_{0}}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

$I={\frac {A\ X\ R\ X\ Y}{P_{0}Y_{0}+RY}}$

उदाहरण

पंचकेन शतेनाब्दे मूलं स्वं सकलान्तरम् ।

सहस्त्रं चेत्पृथक् तत्र वद मूल कलान्तरे ॥ ॥

जब ब्याज दर 5% प्रति माह है, तो एक वर्ष के बाद राशि 1000 एन (निष्कास) है। मूलधन और ब्याज ज्ञात करें।

टिप्पणी: उपरोक्त श्लोक में 'प्रति माह' का उल्लेख नहीं है लेकिन ऐसा लगता है कि उस समय ब्याज की गणना मासिक आधार पर की जाती थी।

यहां A = 1000, R = 5, P₀ = 100, Y₀ = 1 महीना Y = 1 वर्ष (12 महीने)

$P={\frac {1000\ X\ 100\ X\ 1}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=625$ N

$I={\frac {1000\ X\ 5\ X\ 12}{100\ X\ 1+5\ X\ 12}}=375$ N

वैकल्पिक रूप से I = A - P = 1000 - 625 = 375 N

श्लोक सं.99

अथ प्रमाणैर्गुणिताः स्वकाला व्यतीतकालघ्नफलोद्धृतास्ते ।

स्वयोगभक्ताश्च विमिश्रनिघ्नाः प्रयुक्तखण्डानि पृथक् भवन्ति ॥९९॥

यदि किसी निश्चित मूलधन के कई भागों पर अलग-अलग अवधियों के लिए अलग-अलग ब्याज दरें होती हैं और फिर भी समान ब्याज मिलता है, तो इन भागों को खोजने के लिए - मानक मूलधन और मानक अवधि का गुणनफल लें, इस गुणनफल को संबंधित अवधियों के गुणनफल से विभाजित करें, और ब्याज दरें, और इन भागफलों को अलग से लिखें। इन भागफलों को दिए गए मूलधन से गुणा किया जाता है और अलग से लिखे गए भागफलों के योग से विभाजित किया जाता है, ये दिए गए मूलधन के वांछित भाग होते हैं।

टिप्पणी: भागों को दर्शाने के लिए प्रत्ययों के साथ पिछले उदाहरण के अंकन का उपयोग करना (हम तीन भागों पर विचार करते हैं):

$P_{1}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{2}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$ $P_{3}={\frac {(P_{1}+P_{2}+P_{3})\ X\ {\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}{{\frac {100}{R_{1}Y_{1}}}+{\frac {100}{R_{2}Y_{2}}}+{\frac {100}{R_{3}Y_{3}}}}}$

उदाहरण

यत्पंचकत्रिकचतुष्कशतेन दत्तं

खंडैस्त्रिभिर्गणक निष्कशतं षडूनम् ।

मासेषु सप्तदशपंचसु तुल्यमाप्तम्

खंडत्रयेऽपि हि फलं वद खंडसंख्याम् ॥ ॥

94 N(निष्क) को तीन भागों में विभाजित किया गया था और 7 महीने के लिए 5 प्रतिशत (प्रति माह), 10 महीने के लिए 3 प्रतिशत और 5 महीने के लिए 4 प्रतिशत पर उधार दिया गया था। यदि तीनों भागों पर समान ब्याज मिलता है, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: यहाँ P1 + P2+ P3 = 94

आर1 = 5 वाई1 = 7

आर2 = 3 वाई2 = 10

आर3 = 4 वाई3 = 5

उपरोक्त सूत्र के अनुसार

$P_{1}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{5X7}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{35}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{35}}}{\frac {4700}{420}}}=24$

$P_{2}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{3X10}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{30}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{30}}}{\frac {4700}{420}}}=28$

$P_{3}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{4X5}}}{{\frac {100}{5X7}}+{\frac {100}{3X10}}+{\frac {100}{4X5}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{20}}}{{\frac {100}{35}}+{\frac {100}{30}}+{\frac {100}{20}}}}={\frac {94\ X\ {\frac {100}{20}}}{\frac {4700}{420}}}=42$

लाभ के हिस्से की गणना

यहां हम लाभ के हिस्से की गणना करेंगे जब कुल लाभ और व्यक्तिगत निवेश दिया गया हो।

प्रक्षेपका मिश्रहता विभक्ता प्रक्षेपयोगेन पृथक् फलानि ॥ ॥

किसी व्यक्ति का हिस्सा (व्यवसाय के बाद) उस व्यक्ति के निवेश को कुल उत्पादन से गुणा करके और कुल निवेश से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

टिप्पणी: यदि a, b और c निवेश हैं और x आउटपुट है, तो हिस्से क्रमशः ${\frac {ax}{a+b+c}}$ , ${\frac {bx}{a+b+c}}$, ${\frac {cx}{a+b+c}}$ हैं।

उदाहरण

पंचाशदेकसहिता गणकाष्टषष्टिः पंचोनिता नवतिरादिधनानि येषाम् ।

प्राप्ता विमिश्रितधनैस्त्रिशती त्रिभिस्तैः वाणिज्यतो वद विभज्य धनानि तेषाम् ॥ ॥

तीन किराना विक्रेताओं ने क्रमशः 51, 68, और 85 N (निष्क) का निवेश किया। कुशलतापूर्वक उन्होंने अपनी कुल संपत्ति 300N तक बढ़ा ली। प्रत्येक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी: कुल निवेश = $51+68+85=204$ N

यहाँ a = 51; b = 68; c = 85; x = 204

उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करें

उनके हिस्से ${\frac {51\ X\ 300}{204}}=75$ N ${\frac {68\ X\ 300}{204}}=100$ N ${\frac {85\ X\ 300}{204}}=125$ N हैं

उनका लाभ $75-51=24$ N ; $100-68=32$ N ; $125-85=40$ N हैं

टंकियों को भरने का सूत्र

पञ्चप्तनवराशिकादिकेऽन्योन्यपक्षनयनं फलच्छिदाम् ।

संविधाय बहुराशिजे वधे स्वल्पराशिवधभाजिते फलम् ॥ ८९ ॥

पांच, सात, नौ आदि के नियमों के उदाहरणों की स्थति में, अंश में सभी अनुपातों के पूर्ववर्ती रखें। वांछित परिणाम को छोड़कर अन्य सभी शर्तों को भाजक में रखा जाना चाहिए। अंशों के गुणनफल को हरों के गुणनफल से विभाजित करने पर प्राप्त परिणाम आवश्यक परिणाम है।

उदाहरण 1

मासे शतस्य यदि पञ्चकलान्तरं स्यात्

वर्षे गते भवति किं वद षोडशानाम् ।

कालं तथा कथय मूलकलान्तराभ्याम्

मूलं धनं गणक कालफले विदित्वा ॥ ॥

इसमें तीन समस्याएं हैं।

1. यदि 100 निष्क(N) पर प्रति माह 5 N ब्याज (M) मिलता है, तो 16 N पर एक वर्ष (12 M) के लिए ब्याज ज्ञात कीजिए।

100 N मूलधन	:	16 N मूलधन					प्रत्यक्ष
			::	5 N ब्याज	:	X
1 मास	:	12 मास					प्रत्यक्ष

$X={\frac {5\ X\ 16X\ 12}{100\ X\ 1}}={\frac {48}{5}}=9{\frac {3}{5}}$ N

2. उपरोक्त समस्या को (1) के समान दर पर परिवर्तित कर दिया गया है, 16 N पर $9{\frac {3}{5}}$ ब्याज प्राप्त करने की अवधि प्राप्त कीजिए।

100 N	:	16 N
			::	1 M	:	X
5N	:	$9{\frac {3}{5}}$N

$X={\frac {1\ X\ 100X\ {\frac {48}{5}}}{16\ X\ 5}}=12$ M

3. मान लीजिए कि हमें अवधि और ब्याज दिया गया है और हमें मूलधन (x) ज्ञात करना है।

5N	:	$9{\frac {3}{5}}$N
			::	100N	:	X
1 M	:	12 M

$X={\frac {5\ X\ 100X\ {\frac {48}{5}}}{12\ X\ 1}}=16$ N

उदाहरण 2

सत्र्यंशमासेन शतस्य चेत्स्यात्कलान्तरं पञ्च सपञ्चमांशाः ।

मासैस्त्रिभिः पञ्चलवाधिकैस्तैः सार्धद्विषट्कैः फलमुच्यतां किम् ॥ ॥

यदि 100 पर ${\frac {4}{3}}$ महीने का ब्याज $5{\frac {1}{5}}$ है, तो $62{\frac {1}{2}}$ पर $3{\frac {1}{5}}$ महीने का ब्याज कितना होगा?

टिप्पणी: पांच का नियम है:

100	:	$62{\frac {1}{2}}$					प्रत्यक्ष
			::	${\frac {26}{5}}$	:	X
${\frac {4}{3}}$M	:	${\frac {16}{5}}$N					प्रत्यक्ष

$X={\frac {26}{5}}\ X\ {\frac {125}{2}}\ X\ {\frac {16}{5}}\ X\ {\frac {1}{100}}\ X\ {\frac {3}{4}}={\frac {39}{5}}=7{\frac {4}{5}}$

यह भी देखें

The Rule of Five in Līlāvatī