आर्यभटीयम् में 'घनमूल'

भूमिका

यहां हम जानेंगे कि आर्यभटीयम् में बताए अनुसार घनमूल कैसे ज्ञात किया जाता है ।

श्लोक

अघनाद् भजेद् द्वितीयात् त्रिगुणेन घनस्य मूलवर्गेण ।

वर्गस्त्रिपूर्वगुणितः शोध्यः प्रथमाद् घनश्च घनात् ॥

अनुवाद

बायीं ओर से प्रारंभ होकर घन स्थान तक के अंकों को अधिकतम घन मान से घटाया जाना है। दूसरे गैर-घन स्थान को घनमूल के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करें। पहले अघन स्थान से भागफल के वर्ग से गुणा किए गए घनमूल का तीन गुना घटाएँ। अगले घन स्थान से भागफल का घन घटाएँ। यह प्रक्रिया अंतिम अंक तक दोहराई जाएगी।

उदाहरण: 1771561 का घन

इकाई स्थान से प्रारंभ करते हुए क्रमशः घन-स्थान (घन) (G), प्रथम- अघन-स्थान (गैर-घन) (A₁), द्वितीय- अगहन-स्थान (गैर-घन) (A₂), घन-स्थान (घन) (G) को चिह्नित करें।

G	A2	A1	G	A2	A1	G
1	7	7	1	5	6	1

	G	A2	A1	G	A2	A1	G	प्रक्रिया विवरण	घनमूल
	1	7	7	1	5	6	1
-13	1							सबसे बाएँ घन अंक (1) से अधिकतम संभव घन (1 = 13) घटाएँ। संख्या (1) का घनमूल 1 है जो आवश्यक संख्या के घनमूल का पहला अंक होगा। इस संख्या को घनमूल स्तंभ में लिखें।	1
÷ 3 X 12 = 3 )	0	7	(2					द्वितीय-अघन स्थान (7) से अगला अंक नीचे लाएँ और शेष (0) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 7 है और इसे अब तक प्राप्त घनमूल के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करें (1) = 3 X 12 = 3.
		6						उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभव संख्या 3 X 2 = 6 से घटाएँ। यहां भागफल 2 है।
		1	7					प्रथम-अघन स्थान (7) से अगला अंक नीचे लाएँ और शेष (1) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 17 है.
-3 X 1 X 22 = -12		1	2					अब तक प्राप्त घनमूल को पिछले भागफल (2) के वर्ग से गुणा करके तीन गुना घटाएँ = 3 X 1 X 22 = 12।
			5	1				घना स्थान (1) से अगला अंक नीचे लाएँ और शेष (5) के दाईं ओर रखें। अब यह संख्या 51 है.
-23				8				पिछले भागफल (2) का घन घटाएँ। इस भागफल को घनमूल स्तंभ में अब तक प्राप्त घनमूल (1) के आगे लिखें।	1 2
÷ 3 X 122 = 432			4	3	5	(1		द्वितीय-अघन स्थान (5) से अगला अंक नीचे लाएँ और शेष (43) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 435 है और इसे अब तक प्राप्त घनमूल के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करें (12) = 3 X 122 = 432.
			4	3	2			उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभव संख्या 432 X 1 = 432 से घटाएँ यहां भागफल 1 है
					3	6		प्रथम-अघन स्थान (6) से अगला अंक नीचे लाएँ और शेष (3) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 36 है.
-3 X 12 X 12 = -36					3	6		अब तक प्राप्त घनमूल को पिछले भागफल के वर्ग से गुणा करके तीन गुना घटाएँ (1) = 3 X 12 X 12 = 36।
						0	1	घन स्थान (1) से अगला अंक नीचे लाएँ और शेष (0) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 1 है.
-13 = - 1							1	पिछले भागफल (1) का घन घटाएँ। इस भागफल को घनमूल स्तंभ में अब तक प्राप्त घनमूल (12) के आगे लिखें।	1 2 1
							0

चूँकि शेषफल शून्य है, घनमूल सटीक है।

1771561 का घनमूल = 121

उदाहरण: 12167 का घन

इकाई स्थान से प्रारंभ करते हुए क्रमशः घन-स्थान (घन) (G), प्रथम- अघन-स्थान (गैर-घन) (A₁), द्वितीय- अगहन-स्थान (गैर-घन) (A₂), घन-स्थान (घन) (G) को चिह्नित करें।

A1	G	A2	A1	G
1	2	1	6	7

	A1	G	A2	A1	G	प्रक्रिया विवरण	घनमूल
	1	2	1	6	7
-23		8				घन के सबसे बाएँ अंक (12) तक के अंकों में से अधिकतम संभव घन (8 = 23) घटाएँ। संख्या (8) का घनमूल 2 है जो आवश्यक संख्या के घनमूल का पहला अंक होगा। इस संख्या को घनमूल स्तंभ में लिखें।	2
÷ 3 X 22 = 12	12)	4	1	(3		द्वितीय-अघन स्थान (1) से अगला अंक नीचे लाएँ और शेष (4) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 41 है और इसे अब तक प्राप्त घनमूल के वर्ग के तीन गुना से विभाजित करें (2) = 3 X 22 = 12।
		3	6			उपरोक्त संख्या को अधिकतम संभव संख्या 12 X 3 = 36 से घटाएँ। यहां भागफल 3 है।
			5	6		प्रथम-अघन स्थान (6) से अगला अंक नीचे लाएँ और शेष (5) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 56 है.
-3 X 2 X 32 = -54			5	4		अब तक प्राप्त घनमूल को पिछले भागफल (32) के वर्ग से गुणा करके तीन गुना घटाएँ = 3 X 2 X 32 = 54।
				2	7	घन स्थान (7) से अगला अंक नीचे लाएँ और शेष (2) के दाईं ओर रखें। अब संख्या 27 है.
-33				2	7	पिछले भागफल (3) का घन घटाएँ। इस भागफल को घनमूल स्तंभ में अब तक प्राप्त घनमूल (2) के आगे लिखें।	2 3
					0

चूँकि शेषफल शून्य है, घनमूल सटीक है।

12167 का घनमूल = 23

यह भी देखें

Cube root in Āryabhaṭīyam