AP के प्रथम n पदों का योग
पिछली इकाई में हमने समांतर श्रेणी के nth पद ( nth term) का मान निकालना सीख, हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेणी में (n terms) n पद होते हैं और यदि हमें उसे समांतर श्रेणी के ,प्रथम n पदों का योग अर्थात ( sum of first n terms of an AP), निकालना है तो हमें एक सूत्र की जरूरत होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को जोड़ेंगे तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा । कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी, इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले n terms को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।
समांतर श्रेणी केप्रथम n पदों का योग
Sn= n/2[ 2a + (n-1)d]
Sn = समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग
a = पहला पद ( first term)
n = पदों की संख्या (number of terms)
d = सार्व अंतर (common difference)
उदाहरण 1)-
1. समान्तर श्रेढ़ी : 1, 10, 19, 28 ………… के पहले 16 पदों का योग ज्ञात करो ।
हल – यहाँ पहला पद (a) first term = 1
सार्व अंतर (d) common difference = 10 – 1 = 9
पदों की संख्या (n) number of terms = 16,
S16 ( पहले 16 पदों का योग) =?
पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा, Sn= n/2[ 2a + (n-1)d]
मान रखने पर, S16 = 16/2[2⨯1 + (16 – 1)9]
S16 = 8[2 + 15⨯9]
S16 = 8[2 + 135]
S16 = 8[137]
S16 = 1096
इसलिए, पहले 16 पदों का योग 1096 है।
उदाहरण 2)-
किसी समांतर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है, तथा उसका पहला पद 10 है ,उसका 25thपद ज्ञात करें?
हल – यहाँ पहला पद (a) first term = 10
S14 ( पहले 14 पदों का योग) = 1505
पदों की संख्या (n) number of terms = 14
पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा, Sn= n/2[ 2a + (n-1)d]
मान रखने पर, 1505= 14/2 [ 2 ⨯ 10 + ( 14-1)d]
1505= 7 ( 20+ 13d)
215= 20+ 13d
13d=195
d=15 ( common difference)
समांतर श्रेणी के n वाँ पद का सूत्र द्वारा, an = a + (n – 1)d
25thपद= a + (25-1)d
= 10+ 24 ⨯ 15
= 370
समांतर श्रेणी का 25th पद 370 है।
