पाटीगणितम् में 'वर्ग'

यहां हम सीखेंगे कि पाटीगणितम् के अनुसार किसी संख्या का 'वर्ग' कैसे ज्ञात किया जाता है।

श्लोक 23

कृत्वाऽन्त्यपदस्य कृतिं शेषपदैर्द्विगुणमन्त्यमभिहन्यात् ।

उत्सार्य्योत्सार्य पदाच्छेषं चोत्सारयेत् कृतये ॥ २३ ॥

अनुवाद 23

किसी संख्या का वर्ग प्राप्त करने के लिए (निम्नानुसार क्रमिक रूप से आगे बढ़ें): अंतिम अंक का वर्ग करने के बाद (अंत्य-पद) (अर्थात्, अंतिम अंक के वर्ग को अंतिम अंक के ऊपर लिखने के बाद), शेष अंकों को अंतिम के दोगुने से गुणा करें, इसे एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाना (दाईं ओर, और परिणामी गुणनफलों को संबंधित अंकों पर निर्धारित करना); फिर (अंतिम अंक मिटा दें और) शेष अंकों को (एक स्थान दाईं ओर) ले जाएं।

यह नियम सूत्र पर आधारित है $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

इस नियम को नीचे एक उदाहरण से दर्शाया गया है।

उदाहरण: 125 का वर्ग

यहां अंतिम अंक 1 है। इसका वर्ग (1²=1) अपने ऊपर रखा गया है।

1
1	2	5

अंतिम अंक 2 X 1 = 2 को दो बार शेष अंक (2 या 5) के नीचे रखें और अंतिम अंक (1) को मिटा दें, अब पाटी पर कार्य इस प्रकार दिखाई देगा

1
	2	5
		2

25 को 2 से गुणा करें (नीचे) 25 X 2 = 50 और परिणाम (50) को संबंधित आंकड़े (25) के ऊपर रखें, हमें मिलता है

1	5	0
	2	5

प्रक्रिया का एक दौर पूरा हो गया है. शेष अंकों (25) को एक स्थान आगे दाईं ओर ले जाएँ। हम पाते हैं

1	5	0
		2	5

अब प्रक्रिया दोहराई गई है. शेष अंक (25) में अंतिम अंक 2 है। अंतिम अंक (2² = 4) का वर्ग 2 के ऊपर रखा गया है

1	5	0 + 4
		2	5

1	5	4
		2	5

अंतिम अंक 2 X 2 = 4 को दोगुना करके शेष अंक (5) के नीचे रखें और अंतिम अंक (2) को मिटा दें, अब पाटी पर कार्य इस प्रकार दिखाई देगा

1	5	4
			5
			4

5 को 4 से गुणा करें (नीचे) 5 X 4 = 20 और परिणाम (20) को संबंधित आंकड़े (5) पर रखें, हमें मिलता है

1	5	4 +2	0
			5

1	5	6	0
			5

प्रक्रिया का दूसरा दौर पूरा हो गया है. शेष अंक (5) को दाहिनी ओर एक स्थान आगे ले जाएँ। हम पाते हैं

1	5	6	0
				5

अब प्रक्रिया दोहराई गई है. शेष अंक (5) में अंतिम अंक 5 है। अंतिम अंक (5² = 25) का वर्ग 5 के ऊपर रखा गया है।

1	5	6	0 + 2	5
				5

1	5	6	2	5
				5

चूंकि कोई शेष अंक नहीं हैं इसलिए प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। 5 अब मिटा देने से पाटी कार्य इस प्रकार दिखाई देगा

1

5

6

2

5

125 का वर्ग = 15625

श्लोक 24

सदृशद्विराशिघातो रूपादिद्विचयपदसमासो (वा) ।

इष्टोनयुतपदवधो वा तदिष्टवर्गान्वितो वर्गः ॥ २४ ॥

अनुवाद 24

(किसी दी गई संख्या का वर्ग) दो समान संख्याओं (प्रत्येक दी गई संख्या के बराबर) के गुणनफल के बराबर होता है, या श्रृंखला के उतने पदों के योग के बराबर होता है जिनका प्रथम पद 1 और सामान्य अंतर 2 है, या गुणनफल दी गई संख्या और एक कल्पित संख्या के अंतर और योग तथा कल्पित संख्या के वर्ग का योग।

इन नियमों को नीचे उदाहरणों से दर्शाया गया है।

$n^{2}=n\times n$

(किसी दी गई संख्या का) वर्ग भी दो समान संख्याओं (प्रत्येक दी गई संख्या के बराबर) के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या	वर्ग		संख्या	वर्ग		संख्या	वर्ग
1	1 X 1 = 1		4	4 X 4 = 16		7	7 X 7 = 49
2	2 X 2 = 4		5	5 X 5 = 25		8	8 X 8 = 64
3	3 X 3 = 9		6	6 X 6 = 36		9	9 X 9 = 81

$n^{2}=1+3+5+7+9+11+13+15+17........+\ to\ n\ terms$

श्रृंखला के कई पदों का योग जिसका प्रथम पद 1 और सार्व अंतर 2 है।

संख्या	वर्ग		संख्या	वर्ग		संख्या	वर्ग
1	1		4	1 + 3 + 5 + 7 = 16		7	1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
2	1 + 3 = 4		5	1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25		8	1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64
3	1 + 3 + 5 = 9		6	1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36		9	1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

$n^{2}=(n-a)(n+a)+a^{2}$

दी गई संख्या और एक कल्पित संख्या के अंतर और योग का गुणनफल और कल्पित संख्या का वर्ग।

आइए संख्या मान लें $a=1$

संख्या	वर्ग		संख्या	वर्ग		संख्या	वर्ग
1	(1 - 1)(1 + 1) + 12 = 1		4	(4 - 1)(4 + 1) + 12 = 16		7	(7 - 1)(7 + 1) + 12 = 49
2	(2 - 1)(2 + 1) + 12 = 4		5	(5 - 1)(5 + 1) + 12 = 25		8	(8 - 1)(8 + 1) + 12 = 64
3	(3 - 1)(3 + 1) + 12 = 9		6	(6 - 1)(6 + 1) + 12 = 36		9	(9 - 1)(9 + 1) + 12 = 81

यह भी देखें

Square in Pāṭīgaṇitam