AP के प्रथम n पदों का योग

पिछली इकाई में हमने समांतर श्रेणी के $n^{th}$पद ( $n^{th}$ term) का मान निकालना सीख, हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेणी में (n terms) $n$ पद होते हैं और यदि हमें उसे समांतर श्रेणी के ,प्रथम $n$ पदों का योग निकालना है तो हमें एक सूत्र की जरूरत होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को जोड़ेंगे तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा । कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी, इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले $n$ पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग

$Sn={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$Sn=$ समांतर श्रेणी के पहले $n$ पदों

$a=$ पहला पद ( first term)

$n=$ पदों की संख्या (number of terms)

$d=$ सार्व अंतर (common difference)

उदाहरण 1

1. समान्तर श्रेणी: $1,10,19,28,...$ के पहले $16$ पदों का योग ज्ञात करो ।

हल – यहाँ पहला पद $a=1$

सार्व अंतर $d=10-1=9$

पदों की संख्या $n=16$

  $S_{16}$ ( पहले $16$पदों का योग) =?

पहले $n$ पदों के योग के सूत्र द्वारा, $Sn={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

मान रखने पर,   $S_{16}$= ${\frac {16}{2}}[2\times 1+(16-1)9]$

$S_{16}$ $=8[2+15\times 9]$

  $S_{16}$ $=8[2+135]$

  $S_{16}$ $=8[137]$

  $S_{16}$ $=1096$

इसलिए, पहले $16$ पदों का योग $1096$ है।  

उदाहरण 2

किसी समांतर श्रेणी के प्रथम $14$पदों का योग $1505$ है, तथा उसका पहला पद $10$ है ,उसका $25^{th}$पद ज्ञात करें?

हल – यहाँ पहला पद $a=10$

  $S_{14}$ ( पहले $14$ पदों का योग) = $1505$

पदों की संख्या $n=14$

पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा, S_n= n/2[ 2a + (n-1)d]

मान रखने पर, 1505= 14/2 [ 2 ⨯ 10 + ( 14-1)d]

1505= 7 ( 20+ 13d)

215= 20+ 13d

13d=195

d=15 ( common difference)

समांतर श्रेणी के n वाँ पद का सूत्र द्वारा,    a_n = a + (n – 1)d

25^thपद= a + (25-1)d

= 10+ 24 ⨯ 15

= 370

समांतर श्रेणी का 25^th पद 370 है।

अभ्यास प्रश्न

1. समांतर श्रेणी का योग ज्ञात करें 4-1/n, 7-2/n, 10-3/n, .................. n पदों तक ।
2. समांतर श्रेणी के a₁₂ तथा सर्व अंतर d का मान क्रमशः 37 और 3 है , पहला पद , S₁₂ ज्ञात करें ।