द्विघात समीकरण

ऐसा समीकरण, जिन्हें हम $ax^{2}+bx+c=0$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं एवं $a\neq 0$ , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , $p(x)=0$ के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ $p(x)$ द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।

द्विघात समीकरण का मानक रूप

जब हम $p(x)$ (एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं, तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।

मानक रूप : $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ [ $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं ]

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं :

1. $4x^{2}-5x+2=0$
2. $x^{2}+10x-1=0$
3. $3x^{2}-4x+2=0$
4. $9x^{2}-18x+27=0$

उदाहरण 2

एक आयत का क्षेत्रफल $545$ है। आयत की लंबाई, चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।

आयत

हल

मान लीजिए , आयत की चौड़ाई $=x$

उपर्युक्त कथन के अनुसार ,

आयत की लंबाई $=2x+1$

आयत का क्षेत्रफल $=545$

हम जानते हैं कि , आयत का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई

मान रखने पर ,

$545=(2x+1)\times x$

$2x^{2}+x=545$

$2x^{2}+x-545=0$

अतः , उपर्युक्त कथन का द्विघात समीकरण $2x^{2}+x-545=0$ है ।

उदाहरण 3

स्पष्ट करें कि क्या निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं ?

1) $(x-2)^{2}+1=2x-3$

2) $x(4x+8)=x^{2}+4$

3) $(x+2)^{3}=x^{3}-6$

4) $(x+2)(x+3)=(x+1)(x-1)$

हल

1) $(x-2)^{2}+1=2x-3$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,

$[x^{2}+(2)^{2}-2\times x\times 2]+1=2x-3$ सूत्र: $[(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab]$

$(x^{2}+4-4x)+1=2x-3$

$x^{2}-4x+5=2x-3$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{2}-4x-2x+5+3=0$

$x^{2}-6x+8=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

2) $x(4x+8)=x^{2}+4$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$4x^{2}+8x=x^{2}+4$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$4x^{2}-x^{2}+8x-4=0$

$3x^{2}+8x-4=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

3) $(x+2)^{3}=x^{3}-6$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$x^{3}+(2)^{3}+3\times x\times 2(x+2)=x^{3}-6$ सूत्र : $[(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)]$

$x^{3}+8+6x(x+2)=x^{3}-6$

$x^{3}+8+6x^{2}+12x=x^{3}-6$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{3}-x^{3}+6x^{2}+12x+8+6=0$

$6x^{2}+12x+14=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

4) $(x+2)(x+3)=(x+1)(x-1)$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$x^{2}+3x+2x+6=x^{2}+x-x-1$

$x^{2}+5x+6=x^{2}-1$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{2}-x^{2}+5x+6+1=0$

$5x+7=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ नही प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण नही है ।

अभ्यास प्रश्न

1. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल $400$ है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
2. रोहन की माँ उससे $40$ वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से $4$ वर्ष बाद $410$ होगा। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।