एक संख्या को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ और पूर्णांक हैं और हैं ।
उदाहरण : , , , , आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।
इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि अपरिमेय संख्या है , जहाँ एक अभाज्य संख्या है। हम अपने प्रमाण में अंकगणित की मौलिक प्रमेय का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रेमय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।
प्रेमय 1
कथन : माना कि एक अभाज्य संख्या है, यदि , को विभाजित करता है , तो को विभाजित करता है, जहाँ एक धनात्मक पूर्णांक है ।
प्रमाण :
मान लीजिए कि का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है ,
जहाँ अभाज्य संख्याएँ है ।
इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ,
कथन में हमें दिया गया है कि, को विभाजित करता है, इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि , के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; के अभाज्य गुणनखंड है तो , का मान इनमें से एक है ।
इस तरह , ;
अतः , को विभाजित करता है ।
उदाहरण 1
सिद्ध करें कि एक अपरिमेय संख्या है ।
हल