दूरी-सूत्र

निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र का उपयोग $XY$ समतल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है। $y-$अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसका $x-$निर्देशांक या भुज कहते हैं। $x-$अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसका $y-$निर्देशांक या कोटि कहते हैं। $x-$अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक $(x,0)$ के रूप के होते हैं, और $y-$अक्ष पर किसी बिंदु के निर्देशांक $(0,y)$ के रूप के होते हैं। किसी समतल में किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करेंगे।

दूरी-सूत्र क्या है?

दूरी सूत्र वह सूत्र है, जिसका उपयोग किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है, केवल तभी जब निर्देशांक हमें ज्ञात हों। ये निर्देशांक $x-$अक्ष या $y-$अक्ष या दोनों पर स्थित हो सकते हैं। मान लीजिए, एक $XY$ समतल में दो बिंदु, मान लीजिए $A$ और $B$ हैं (चित्र 1 देखें) बिंदु $A$ के निर्देशांक $(x_{1},y_{1})$ हैं और $B$ के $(x_{2},y_{2})$ हैं।

Fig 1 - Distance Formula

फिर दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र $AB$ द्वारा दिया गया है

$AB={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

दूरी-सूत्र व्युत्पत्ति

Let us find the distance between two points $A(x_{1},y_{1})$and $B(x_{2},y_{2})$ shown Fig.1

Draw $AD$ and $BE$ perpendicular to the $x-$axis. A perpendicular from the point $A$ on $BE$ is drawn to meet it at the point $C$.

Then, $OD=x_{1}$ , $OE=x_{2}$. So, $DE=x_{2}-x_{1}=AC$. Also, $EB=y_{2}$ , $EC=AD=y_{1}$. Hence $BC=y_{2}-y_{1}$

Now, applying the Pythagoras theorem in $\bigtriangleup ACB$ , we get

$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$

$AB^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

$AB={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$ is the distance formula.

Example

Find the distance between the two points $A(1,2)$ and $B(3,4)$

Solution:

Let $A(1,2)=(x_{1},y_{1})$

$B(3,4)=(x_{2},y_{2})$

Distance between the two points $A$ and $B$

$AB={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

$AB={\sqrt {(3-1)^{2}+(4-2)^{2}}}$

$AB={\sqrt {4+4}}={\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}$