केंद्र से जीवा पर लंब

गणित में, जीवा एक रेखा खंड है जो एक वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हम जानते हैं कि किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वह व्यास होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। इस लेख में वृत्त के केन्द्र से लम्ब से सम्बंधित प्रमेय और उसके प्रमाण तथा इस प्रमेय के व्युत्क्रम पर विस्तार से चर्चा की गई है।

Perpendicular from the Centre to a Chord – Theorem and Proof

Theorem:

The perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord.

Proof:

Fig. 1

Consider a circle with centre $O$ shown in Fig. 1

$AB$ is a chord such that the line $OX$ is perpendicular to the chord $AB$. ($OX\perp AB$)

We need to prove: $AX=BX$

Consider two triangles $OAX$ and $OBX$

$\angle OXA=\angle OXB=90^{\circ }$

$OX=OX$ (Common side)

$OA=OB$ (Radii)

By using the RHS rule, we can prove that the triangle $OAX$ is congruent to $OBX$.

Therefore,

$\triangle OAX\cong \triangle OBX$

Hence, we can say that $AX=BX$ ( Using CPCT)

Thus, the perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord, is proved.

The Converse of this Theorem:

The line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord

Proof:

Consider the Fig. 1

Assume that $AB$ is the chord of a circle with centre $O$.

The centre $O$ is joined to the midpoint $X$ of the chord $AB$.

Now, we need to prove $OX\perp AB$

Join $OA$ and $OB$ and the two triangles formed are $OAX$ and $OBX$.

Here,

$OA=OB$ (Radii)

$OX=OX$ (Common side)

$AX=BX$ (As, $X$ is the midpoint of AB)

Therefore, we can say that $\triangle OAX\cong \triangle OBX$.

Thus, by using the RHS rule, we get

$\angle OXA=\angle OXB=90^{\circ }$

This proves that the line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord.Hence, the converse of this theorem is proved.