केंद्र से जीवा पर लंब

गणित में, जीवा एक रेखा खंड है जो एक वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हम जानते हैं कि किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वह व्यास होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। इस लेख में वृत्त के केन्द्र से लंब से सम्बंधित प्रमेय और उसके प्रमाण तथा इस प्रमेय के व्युत्क्रम पर विस्तार से चर्चा की गई है।

केंद्र से जीवा पर लंब– प्रमेय एवं प्रमाण

प्रमेय :

एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।

प्रमाण:

चित्र-1

चित्र-1 में दिखाए गए केंद्र वाले $O$ वाले एक वृत्त पर विचार करें

$AB$ एक जीवा है जिससे रेखा $OX$ जीवा $AB$ पर लंबवत है। $OX\perp AB$

हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है:$AX=BX$

दो त्रिभुजों $OAX$ और $OBX$ पर विचार करें

$\angle OXA=\angle OXB=90^{\circ }$

$OX=OX$ (समान भुजाएँ)

$OA=OB$ (त्रिज्या)

RHS नियम का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज $OAX$, $OBX$ के सर्वांगसम है।

अतः,

$\triangle OAX\cong \triangle OBX$

अत: हम ऐसा कह सकते हैं $AX=BX$ (CPCT द्वारा)

इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

इस प्रमेय का व्युत्क्रम:

किसी जीवा को समद्विभाजित करने के लिए वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई रेखा जीवा पर लंबवत होती है

प्रमाण:

चित्र-1 पर विचार करें

Assume that $AB$ is the chord of a circle with centre $O$.

The centre $O$ is joined to the midpoint $X$ of the chord $AB$.

Now, we need to prove $OX\perp AB$

Join $OA$ and $OB$ and the two triangles formed are $OAX$ and $OBX$.

Here,

$OA=OB$ (त्रिज्या)

$OX=OX$ (समान भुजाएँ)

$AX=BX$ (As, $X$ is the midpoint of AB)

Therefore, we can say that $\triangle OAX\cong \triangle OBX$.

Thus, by using the RHS rule, we get

$\angle OXA=\angle OXB=90^{\circ }$

This proves that the line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord.Hence, the converse of this theorem is proved.