प्रेरणा

प्रेरणा का अर्थ

प्रेरणा मूलतः एक सैद्धांतिक अवधारणा है जिसका उपयोग किसी व्यक्ति के व्यवहार या किसी कार्य के प्रति व्यक्ति की प्रतिक्रिया का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह एक व्यक्ति या वस्तु है जो किसी व्यक्ति को विशेष तरीके से व्यवहार करने के लिए प्रेरित करती है। साधारणतः, इसका उपयोग मनोवैज्ञानिक सिद्धांतों में, किसी व्यक्ति के व्यवहार के बारे में अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

गणितीय आगमन में प्रेरणा

गणितीय प्रेरण में अभिप्रेरणा का अर्थ है $n$ प्राकृतिक संख्याओं के दिए गए कथनों को इस प्रकार सिद्ध करना कि यदि यह एक के लिए सत्य है तो अन्य सभी संख्याओं के लिए भी सत्य हो।

गणितीय प्रेरण की अवधारणा के पीछे प्रेरणा क्या है?

यह यूक्लिड ही थे जिन्होंने धनात्मक पूर्णांकों के घटते क्रम की अवधारणा पेश की, जिसके बारे में उनका तर्क था कि यह परिमित होना चाहिए, जो उनके संख्याओं के सिद्धांत का आधार था। अपने बाद के काम में, उन्होंने इस अवधारणा को और अधिक विशेष रूप से यह प्रदर्शित करने के लिए लागू किया कि किसी भी मिश्रित संख्या को किसी अभाज्य संख्या द्वारा मापा जा सकता है। अपने प्रमाण में, यूक्लिड ने कहा कि संख्याओं का एक अनंत क्रम, जिनमें से प्रत्येक पिछली संख्या से छोटा है, किसी दी गई संख्या को नहीं माप सकता है - एक धारणा जिसे उन्होंने संख्याओं के दायरे में असंभव माना।

गणितीय प्रेरण को प्रेरित करना

गणितीय प्रेरण वास्तविक जीवन के उदाहरणों से प्रेरित होता है जैसे कि अगर हमारे पास छत तक पहुँचने के लिए सीढ़ी है तो आप कैसे साबित करेंगे कि आप इन सीढ़ियों का उपयोग करके शीर्ष पर पहुँच जाएँगे।

• सबसे पहले हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि क्या हम उस सीढ़ी के पहले चरण तक पहुँच सकते हैं, क्योंकि अगर हम पहले चरण तक पहुँचते हैं तो ही आप दूसरे, तीसरे और इसी तरह आगे बढ़ सकते हैं। और अगर आप पहले चरण तक नहीं पहुँचेंगे तो आप शीर्ष पर नहीं पहुँच सकते।

• दूसरी बात यह है कि अगर हम सीढ़ी के चरणों की गिनती करते हैं तो अगर हम मान लें कि हम चौथे चरण तक पहुँच सकते हैं तो हम पाँचवें चरण तक भी पहुँच सकते हैं।

चलिए इसे संख्याओं के संदर्भ में समझते हैं:

चलिए सीढ़ियों को $1$, $2$ और इसी तरह आगे भी संख्याएँ देते हैं। मान लें कि $p(n)$ , $n$वें चरण तक पहुँचने का प्रस्ताव है। अब हमें यह सिद्ध करना है कि यदि हम किसी भी चरण पर चलते हैं तो हम $n$वें चरण तक पहुँच सकते हैं।

गणितीय शब्दावली में यह कथन वैसा ही है जैसे "किसी भी $k\geq 0$ के लिए, यदि $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।" इसके लिए पहले हमें पहले चरण तक पहुंचना होगा, इसलिए गणितीय शब्दावली में, यदि $P(1)$सत्य है, तभी हम कह सकते हैं कि "यदि $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है" $k=1$ के लिए और तब हम पाते हैं कि $P(2)$ भी सत्य है, जो तब इंगित करता है कि $P(3)$ सत्य है, और इसी तरह, जो दर्शाता है कि $P(n)$ सभी $n\geq 1$ के लिए सत्य है। लेकिन यदि $P(1)$ सत्य नहीं है, तो $P(n)$ भी किसी भी $n\geq 2$ के लिए सत्य नहीं हो सकता है।

दृष्टांत

मान लेते हैं कि हम प्राकृत संख्याओं $1,2,3,.....,n$, के योग के लिए सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं अर्थात् एक सूत्र जो कि $n=3$ के लिए $1+2+3$ का मान देता है, $n=4$ के लिए $1+2+3+4$ का मान देता है इत्यादि। और मान लीजिए कि हम किसी प्रकार से यह विश्वास करने के लिए प्रेरित होते हैं कि सूत्र $1+2+3+.....+n={\frac {n(n+1)}{2}}$ ।

यह सूत्र वास्तव में कैसे सिद्ध किया जा सकता है? हम निश्चित ही $n$ के इच्छानुसार चाहे गए, धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं, किंतु इस प्रक्रिया का मान के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है, जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरंतर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन विधि द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।